Doğru cevap:

1.1. (4 puan)

• Bölümlerin kenar uzunluklarını √12 = 2√3 m, √27 = 3√3 m ve √48 = 4√3 m biçiminde kök dışına çıkararak bulma (2 puan; üç kenar uzunluğundan yalnızca biri veya ikisi doğruysa 1 puan)
• Kökleri aynı olan ifadeleri toplayarak 2√3 + 3√3 + 4√3 = (2 + 3 + 4)√3 = 9√3 m bulma (2 puan)

1.2. (6 puan)

• Dış sınırı oluşturan kenarları belirleme: alt kenar 9√3 m; üstteki yatay kenarların toplamı 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m; sol kenar 2√3 m, sağ kenar 4√3 m; basamaklardaki dikey kenarlar (3√3 − 2√3) + (4√3 − 3√3) = 2√3 m (2 puan)
• Çitin uzunluğunu 9√3 + 9√3 + 2√3 + 4√3 + 2√3 = 26√3 m bulma (1 puan)
• √3 < 1,8 olduğundan eşitsizliğin taraflarını 26 ile çarparak 26√3 < 46,8 bulma (44,2 < 26√3 < 46,8 biçiminde iki sınırın birlikte yazılması da kabul edilir) (2 puan)
• 26√3 < 46,8 < 50 olduğundan 50 m uzunluğundaki çitin yeteceğini belirtme (1 puan)

Örnek doğru cevap: 1.1. Kum havuzunun bir kenarı √12 = √(4 · 3) = 2√3 m, kaydırak bölümünün bir kenarı √27 = √(9 · 3) = 3√3 m, salıncak bölümünün bir kenarı √48 = √(16 · 3) = 4√3 m'dir. Yürüyüş yoluna bitişik kenar 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m'dir. 1.2. Oyun alanının alt kenarı 9√3 m'dir. Üst taraftaki yatay kenarların toplamı da 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m'dir. Dikey kenarlar soldan sağa 2√3 m, 3√3 − 2√3 = √3 m, 4√3 − 3√3 = √3 m ve 4√3 m'dir. Çitin uzunluğu 9√3 + 9√3 + 2√3 + √3 + √3 + 4√3 = 26√3 m olur. 1,7 < √3 < 1,8 ise 26 · 1,7 < 26√3 < 26 · 1,8, yani 44,2 < 26√3 < 46,8 olur. Gereken çit 46,8 m'den kısa olduğundan 50 m uzunluğundaki çit yeter.

Yanlış cevap: Kenar uzunluklarını √12 + √27 + √48 = √87 biçiminde köklerin içini toplayarak bulan; kenar uzunluklarını alanların yarısı (6, 13,5 ve 24 m) ya da dörtte biri olarak alan; çitin uzunluğunu her karenin çevresini ayrı ayrı toplayarak 36√3 m bulan ya da yalnızca alt ve üst kenarları toplayarak 18√3 m bulan; yalnızca alt sınırı (26 · 1,7 = 44,2 m) kullanarak çitin yeteceğine karar veren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

2.1. (5 puan)

• Her kesme işleminde alanın yarıya indiğini belirterek A4 kâğıdının alanını 1 · 2⁻¹ · 2⁻¹ · 2⁻¹ · 2⁻¹ = 2⁻⁴ m² (1/16 m²) bulma (2 puan)
• Bir A0 kâğıdından 1 ÷ 2⁻⁴ = 2⁴ = 16 tane A4 kâğıdı elde edileceğini bulma (1 puan)
• Paketin kütlesini 500 · 2⁻⁴ · 80 = 500 · 5 = 2500 g = 2,5 kg bulma (2 puan)

2.2. (5 puan)

• A1 kâğıdının uzun kenarının b metre, kısa kenarının a/2 metre olduğunu yazma (2 puan)
• Oranların eşitliğinden a/b = b ÷ (a/2) = 2b/a ve a² = 2b² eşitliğini elde etme (2 puan)
• a ve b pozitif olduğundan a/b = √2 bulma (1 puan)

Örnek doğru cevap: 2.1. Her kesmede kâğıdın alanı yarıya iner. A1 kâğıdının alanı 2⁻¹ m², A2 kâğıdının alanı 2⁻² m² olur. Bu şekilde devam edilirse A4 kâğıdının alanı 2⁻⁴ m² = 1/16 m² bulunur. Bir A0 kâğıdından 1 ÷ 2⁻⁴ = 2⁴ = 16 tane A4 kâğıdı elde edilir. Bir A4 kâğıdının kütlesi 80 · 2⁻⁴ = 80 ÷ 16 = 5 g'dır. 500 yapraklık paketin kütlesi 500 · 5 = 2500 g, yani 2,5 kg'dır. 2.2. A0 kâğıdı uzun kenarının orta noktasından kesildiğinde A1 kâğıdının uzun kenarı b, kısa kenarı a/2 olur. Oranlar eşit olduğundan a/b = b ÷ (a/2) = 2b/a olur. İçler dışlar çarpımı yapılırsa a² = 2b² ve a/b = √2 bulunur.

Yanlış cevap: A4 kâğıdının alanını 4 · 2⁻¹ = 2 m² ya da 2⁴ m² bulan; A0 kâğıdından 4 ya da 8 tane A4 kâğıdı elde edileceğini söyleyen; paketin kütlesini 500 · 80 = 40 000 g bulan; A1 kâğıdının kenarlarını a/2 ve b/2 alan; a/b oranını 2 bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

3.1. (4 puan)

• Aralık gösterimini Y = [25, 28] biçiminde yazma (1 puan)
• Ortak özellik yöntemiyle Y = {x | 25 ≤ x ≤ 28, x ∈ ℝ} biçiminde yazma (1 puan)
• Aralığın orta noktasını (25 + 28) ÷ 2 = 26,5 ve orta noktanın uç noktalara uzaklığını 1,5 bularak |x − 26,5| ≤ 1,5 mutlak değerli eşitsizliğini yazma (2 puan)

3.2. (6 puan)

• |x − 26| ≤ 2 mutlak değerli eşitsizliğini yazma (1 puan)
• −2 ≤ x − 26 ≤ 2 ve 24 ≤ x ≤ 28 olduğundan H = [24, 28] bulma (1 puan)
• Havuzda ölçülebilen ancak yarışmalar için uygun olmayan sıcaklıkların kümesini H \ Y (ya da H ∩ Y′) biçiminde ifade etme (1 puan)
• H \ Y = [24, 25) bulma (1 puan)
• Sayı doğrusunda 24 noktasını içi dolu, 25 noktasını içi boş daire ile işaretleyip aradaki bölümü gösterme (1 puan)
• Y ⊂ H olduğunu, su sıcaklığı 24 °C ile 25 °C arasında (24 dâhil, 25 hariç) olduğunda havuzun yarışmalara uygun olmadığını, bu nedenle havuzun her zaman yarışmalara uygun olmadığını yorumlama (1 puan)

Örnek doğru cevap: 3.1. Y = [25, 28] kapalı aralığıdır. Ortak özellik yöntemiyle Y = {x | 25 ≤ x ≤ 28, x ∈ ℝ} biçiminde yazılır. Aralığın orta noktası (25 + 28) ÷ 2 = 26,5'tir. 26,5 sayısının 25 ve 28 sayılarına uzaklığı 1,5'tir. Bu nedenle Y kümesi |x − 26,5| ≤ 1,5 biçiminde gösterilir. 3.2. Su sıcaklığının 26 °C'tan sapması en fazla 2 °C olduğundan |x − 26| ≤ 2 yazılır. Buradan −2 ≤ x − 26 ≤ 2 ve 24 ≤ x ≤ 28 olur. Buna göre H = [24, 28] bulunur. Havuzda ölçülebilen ancak yarışmaya uygun olmayan sıcaklıkların kümesi H \ Y kümesidir ve H \ Y = [24, 25) bulunur. Sayı doğrusunda 24 içi dolu, 25 içi boş daire ile gösterilir ve aradaki bölüm taranır. Y ⊂ H olur, ancak H kümesi Y kümesinde olmayan sıcaklıkları da içerir. Su sıcaklığı 24 °C ile 25 °C arasına düştüğünde havuz yarışmalara uygun olmaz. Bu nedenle havuz her zaman yarışmalara uygun değildir.

Yanlış cevap: Y kümesini (25, 28) açık aralığı olarak yazan; mutlak değerli eşitsizliği |x − 26| ≤ 2 ya da |x − 25| ≤ 3 biçiminde yazan; H kümesini [26, 28] ya da (24, 28) bulan; istenen kümeyi Y \ H ya da H ∩ Y biçiminde ifade eden; fark kümesini [24, 25] kapalı aralığı olarak yazan veya sayı doğrusunda 25 noktasını içi dolu daire ile gösteren; "Isıtma sistemi 26 °C'a ayarlandığı için havuz her zaman uygundur." biçiminde yorum yapan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

4.1. (5 puan)

• A = [20, 20 000], B = [67, 45 000] ve C = [16, 12 000] kapalı aralıklarını yazma (3 puan; her aralık 1 puan)
• Her aralığı sayı doğrusunda uç noktaları içi dolu daire ile işaretleyerek gösterme (2 puan; yalnızca bir veya iki aralık doğru gösterildiyse 1 puan)

4.2. (5 puan)

• Köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekansların kümesini B \ A (ya da B ∩ A′) biçiminde ifade etme (1 puan)
• B \ A = (20 000, 45 000] bulma (2 puan)
• Ortak özellik yöntemiyle {x | 20 000 < x ≤ 45 000, x ∈ ℝ} biçiminde yazma (1 puan)
• Sayı doğrusunda 20 000 noktasını içi boş, 45 000 noktasını içi dolu daire ile işaretleyerek gösterme (1 puan)

4.3. (5 puan)

• Üç canlının da duyabildiği frekansların kümesini A ∩ B ∩ C = [67, 12 000] bulma (2 puan; yalnızca sembolle ifade edilip aralık yanlış bulunduysa 1 puan)
• En az birinin duyabildiği frekansların kümesini A ∪ B ∪ C = [16, 45 000] bulma (2 puan; yalnızca sembolle ifade edilip aralık yanlış bulunduysa 1 puan)
• 18 ∈ C, 18 ∉ A ve 18 ∉ B olduğundan 18 Hz frekanslı sesi yalnızca filin duyabileceğini açıklama (1 puan)

Örnek doğru cevap: 4.1. A = [20, 20 000], B = [67, 45 000], C = [16, 12 000] olur. Uç noktalar aralığa dâhil olduğundan sayı doğrusunda içi dolu daire ile gösterilir (şekil). 4.2. Köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekanslar B kümesinde olup A kümesinde olmayan frekanslardır. Bu küme B \ A ile gösterilir. B \ A = (20 000, 45 000] olur. Ortak özellik yöntemiyle B \ A = {x | 20 000 < x ≤ 45 000, x ∈ ℝ} biçiminde yazılır. 20 000 Hz'i insan duyabildiği için 20 000 aralığa dâhil değildir; sayı doğrusunda içi boş daire ile gösterilir. 4.3. Üç canlının da duyabildiği frekanslar A ∩ B ∩ C = [67, 12 000] kümesindedir. Bu canlılardan en az birinin duyabildiği frekanslar A ∪ B ∪ C = [16, 45 000] kümesindedir. 18 ∈ C ancak 18 ∉ A ve 18 ∉ B olduğundan 18 Hz frekanslı sesi yalnızca fil duyabilir.

Yanlış cevap: Aralıkları açık aralık olarak yazan ya da uç noktaları içi boş daire ile gösteren; köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekansları A \ B ya da A ∩ B biçiminde ifade eden; B \ A kümesini [20 000, 45 000] ya da (20 000, 45 000) bulan; kesişim kümesini [16, 45 000], birleşim kümesini [67, 12 000] biçiminde karıştıran; 18 Hz'lik sesi insanın da duyabileceğini söyleyen cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

5.1. (5 puan)

• ℕ ⊂ T olduğunu, her k doğal sayısı için k = 100k/100 ve 100k ∈ ℕ olduğu gerekçesiyle belirtme (2 puan; gerekçesiz yalnızca ilişki yazıldıysa 1 puan)
• T ⊂ ℚ olduğunu, T'nin her elemanının iki tam sayının oranı (paydası sıfırdan farklı) biçiminde yazılabildiği gerekçesiyle belirtme (1 puan)
• T ⊄ ℤ olduğunu karşıt örnekle gösterme (ör. 0,01 ∈ T ancak 0,01 ∉ ℤ) (1 puan)
• ℤ ⊄ T olduğunu karşıt örnekle gösterme (ör. −1 ∈ ℤ ancak −1 ∉ T) (1 puan)

5.2. (5 puan)

• T kümesinin sıralı olduğunu, elemanlarının birbiriyle karşılaştırılabildiğini belirtme (ör. 2,37 < 2,38) (1 puan)
• T kümesinde arada olma özelliğinin olmadığını gösterme: 2,37 = 237/100 ve 2,38 = 238/100 olup 237 ile 238 arasında doğal sayı bulunmadığından 2,37 ile 2,38 arasında T kümesinin hiçbir elemanı yoktur (2 puan)
• Gerçek sayılar kümesinde arada olma özelliği olduğundan yüzüğün kütlesinin 2,37 ile 2,38 arasında bir gerçek sayı (ör. 2,375 g) olabileceğini, terazinin bu değeri gösteremeyip yalnızca T kümesindeki bir değeri (2,37 ya da 2,38) gösterebileceğini belirterek kuyumcunun ifadesinin doğru olduğunu açıklama (2 puan)

5.3. (5 puan)

• T kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu cebirsel olarak gösterme: n, m ∈ ℕ için n/100 + m/100 = (n + m)/100 ve n + m ∈ ℕ olduğundan sonuç T kümesinin elemanıdır (2 puan)
• T kümesinin çarpma işlemine göre kapalı olmadığını karşıt örnekle gösterme: 0,01 · 0,01 = 0,0001 = 1/10 000 ve bu sayı n/100 biçiminde n doğal sayısıyla yazılamadığından 0,0001 ∉ T (2 puan)
• T toplama işlemine göre kapalı olduğundan iki kütlenin toplamının da virgülden sonra en çok iki basamaklı, ekranda görülebilecek bir değer olduğunu açıklama (1 puan)

Örnek doğru cevap: 5.1. Her k doğal sayısı k = 100k/100 biçiminde yazılabilir ve 100k bir doğal sayıdır. Bu nedenle ℕ ⊂ T olur. T'nin her elemanı n/100 biçiminde, iki tam sayının oranı olduğundan T ⊂ ℚ olur. 0,01 ∈ T ancak 0,01 ∉ ℤ olduğundan T ⊄ ℤ olur. −1 ∈ ℤ ancak −1 ∉ T olduğundan ℤ ⊄ T olur. 5.2. T kümesinin elemanları birbiriyle karşılaştırılabildiği için T sıralı bir kümedir; örneğin 2,37 < 2,38 olur. 2,37 = 237/100 ve 2,38 = 238/100 biçiminde yazılır. 237 ile 238 arasında doğal sayı olmadığından 2,37 ile 2,38 arasında T'nin hiçbir elemanı yoktur. Bu nedenle T kümesinde arada olma özelliği yoktur. Gerçek sayılar kümesinde ise arada olma özelliği vardır. Yüzüğün kütlesi örneğin 2,375 g olabilir. Terazi bu değeri gösteremez, ekranda T kümesinin bir elemanı olan 2,37 ya da 2,38 görülür. Kuyumcunun ifadesi doğrudur. 5.3. n, m ∈ ℕ olmak üzere n/100 + m/100 = (n + m)/100 olur. n + m ∈ ℕ olduğundan toplam T'nin elemanıdır; T toplama işlemine göre kapalıdır. 0,01 ∈ T olduğu hâlde 0,01 · 0,01 = 0,0001 sayısı virgülden sonra dört basamaklıdır ve T'nin elemanı değildir. T çarpma işlemine göre kapalı değildir. T toplama işlemine göre kapalı olduğundan ayrı ayrı tartılan iki ürünün ekranda görülen kütlelerinin toplamı da ekranda görülebilecek bir değerdir.

Yanlış cevap: T ⊂ ℤ ya da T ⊂ ℕ yazan; ℕ ile T arasında ilişki olmadığını söyleyen; "T kümesinin elemanları ondalık sayı olduğu için arada olma özelliği vardır." diyen; arada olma özelliğini yalnızca gerçek sayılar için inceleyip T kümesi için incelemeyen; çarpma işleminin kapalı olmadığını göstermek için T kümesinde olmayan sayılarla örnek veren; toplama işleminin kapalılığını yalnızca tek bir örnekle (ör. 0,01 + 0,02 = 0,03) gösterip genelleme yapan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

6.1. (5 puan)

• Yöntemi (a − b) · (a + b) = a² − b² eşitliği (iki terimin karelerinin farkı özdeşliği) olarak yazma (2 puan)
• Eşitliğin doğruluğunu işlem özellikleriyle gösterme: (a − b) · (a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b (çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği) = a² − ba + ab − b² (çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği) = a² − b² (çarpma işleminin değişme özelliğiyle ba = ab; toplama işlemine göre ters eleman ve etkisiz eleman 0 ile −ab + ab = 0) (3 puan; adımlar doğru ancak işlem özellikleri belirtilmediyse 2 puan)

6.2. (5 puan)

• Tutarı 98 · 102 = (100 − 2) · (100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996 TL bulma (2 puan)
• (50 − k) · (50 + k) = 50² − k² = 2500 − k² eşitliğini yazma (1 puan)
• k ≠ 0 olduğundan k² > 0 ve 2500 − k² < 2500 olduğunu belirterek önermenin doğru olduğunu gösterme (2 puan)

Örnek doğru cevap: 6.1. Elif Hanım çarpılan sayıları 50 sayısından 1 eksik ve 1 fazla olarak yazmış, (a − b) · (a + b) = a² − b² eşitliğini kullanmıştır. Bu eşitlik her a ve b gerçek sayısı için doğrudur: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden (a − b) · (a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b olur. Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden bu ifade a² − ba + ab − b² olur. Çarpma işleminin değişme özelliğinden ba = ab'dir. Toplama işlemine göre ters elemanlar toplandığında −ab + ab = 0 olur ve 0 toplama işleminin etkisiz elemanı olduğundan sonuç a² − b² bulunur. 6.2. 98 · 102 = (100 − 2) · (100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996 TL ödenir. Toplamı 100 olan iki farklı gerçek sayı 50 − k ve 50 + k (k ≠ 0) ise çarpımları (50 − k) · (50 + k) = 2500 − k² olur. k ≠ 0 olduğundan k² > 0'dır. Bu nedenle 2500 − k² < 2500 olur. Önerme doğrudur.

Yanlış cevap: Eşitliği (a − b) · (a + b) = a² + b² ya da (a − b)² biçiminde yazan; eşitliğin doğruluğunu yalnızca sayısal örneklerle (ör. 49 · 51 = 2499) gösterip genelleme yapan; 98 · 102 işleminde 100² + 2² = 10 004 TL bulan; (50 − k) · (50 + k) çarpımını 2500 − k ya da 2500 + k² bulan; k² değerinin negatif olabileceğini düşünerek önermenin yanlış olduğunu söyleyen; önermenin doğruluğunu yalnızca birkaç sayı çiftini deneyerek gösteren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

7.1. (4 puan)

• 1, 2 ve 3. halkalardaki taş sayılarını 3² − 1² = 8, 5² − 3² = 16 ve 7² − 5² = 24 olarak bulma (1 puan)
• n. halkanın dış sınırını oluşturan karenin bir kenarında 2n + 1 taş bulunduğunu yazma (1 puan)
• n. halkadaki taş sayısını, kenarında 2n + 1 taş bulunan karedeki taş sayısından kenarında 2n − 1 taş bulunan içteki karedeki taş sayısını çıkararak (2n + 1)² − (2n − 1)² biçiminde ifade etme (2 puan)

7.2. (4 puan)

• Önermeyi ∀n ∈ ℤ⁺ için (2n + 1)² − (2n − 1)² = 8n biçiminde (ya da "8'in katıdır" ifadesini 8k, k ∈ ℤ⁺ ile göstererek) sembolik dille yazma (1 puan)
• İki terimin karelerinin farkı özdeşliğiyle (2n + 1)² − (2n − 1)² = [(2n + 1) − (2n − 1)] · [(2n + 1) + (2n − 1)] = 2 · 4n = 8n bulma ya da toplamın ve farkın karesi özdeşlikleriyle (4n² + 4n + 1) − (4n² − 4n + 1) = 8n bulma (2 puan)
• n pozitif tam sayı olduğundan 8n sayısının 8'in katı olduğunu belirterek ispatı tamamlama (1 puan)

7.3. (2 puan)

• 8n = 100 eşitliğinden n = 12,5 bulunduğunu, n pozitif tam sayı olmadığından 100 taşla bir halkanın eksiksiz döşenemeyeceğini (100 sayısının 8'in katı olmadığını) belirterek işçinin ifadesinin yanlış olduğunu açıklama (2 puan; 100 sayısının 8'in katı olmadığını belirtip işçinin ifadesi hakkında yargıya varmayan cevap 1 puan). (12. halkada 96, 13. halkada 104 taş bulunduğunu belirterek açıklayan öğrenci de tam puan alır.)

Örnek doğru cevap: 7.1. 1. halkada 3 · 3 − 1 = 8 taş, 2. halkada 5 · 5 − 3 · 3 = 16 taş, 3. halkada 7 · 7 − 5 · 5 = 24 taş vardır. n. halkanın dış sınırını oluşturan karenin bir kenarında 2n + 1 taş, bu halkanın içinde kalan karenin bir kenarında 2n − 1 taş bulunur. n. halkadaki taş sayısı (2n + 1)² − (2n − 1)² olur. 7.2. Önerme: ∀n ∈ ℤ⁺ için (2n + 1)² − (2n − 1)² = 8n'dir. Hipotez: n pozitif tam sayıdır. Hüküm: n. halkadaki taş sayısı 8'in katıdır. İspat: a² − b² = (a − b) · (a + b) özdeşliğinde a = 2n + 1 ve b = 2n − 1 alınırsa (2n + 1)² − (2n − 1)² = [(2n + 1) − (2n − 1)] · [(2n + 1) + (2n − 1)] = 2 · 4n = 8n olur. n pozitif tam sayı olduğundan 8n sayısı 8'in katıdır. Önerme doğrudur. 7.3. Bir halkadaki taş sayısı 8n olduğundan 8n = 100 ise n = 12,5 olur. n tam sayı olmadığından 100 taşla bir halka eksiksiz döşenemez. 12. halkada 96 taş, 13. halkada 104 taş vardır. İşçinin ifadesi yanlıştır.

Yanlış cevap: Halkalardaki taş sayılarını 8, 12, 16 ya da 9, 25, 49 olarak bulan; n. halkanın dış kenarındaki taş sayısını 2n ya da n + 2 olarak yazan; n. halkadaki taş sayısını (2n + 1)² olarak yazan; önermeyi yalnızca ilk birkaç halka için doğrulayıp genel ispat yapmayan; (2n + 1)² ifadesinin açılımını 4n² + 1 biçiminde yapan; 100 taşın 12 ya da 13. halkaya yettiğini söyleyen cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

8.1. (5 puan)

• T: [0, 10] → ℝ, T(x) = −6x + 24 cebirsel temsilini yazma (2 puan)
• f fonksiyonunun tanım aralığındaki her elemanın −6 katı ile eşlenmesiyle m(x) = −6x fonksiyonunun grafiğinin elde edildiğini (doğrunun eğimi 1'den −6'ya değişir, doğru azalan olur ve y eksenine daha yakın olur) açıklama (2 puan)
• m fonksiyonunun grafiğinin y ekseni boyunca pozitif yönde 24 birim ötelendiğini ve grafiğin [0, 10] aralığıyla sınırlandığını belirtme (1 puan)

(T(x) = −6 · f(x − 4) yazarak f fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim ötelendiğini ve ardından her elemanın −6 katı ile eşlendiğini açıklayan öğrenci de tam puan alır.)

8.2. (5 puan)

• −6x + 24 = 0 denkleminden T fonksiyonunun sıfırını x = 4 bulma (2 puan)
• İşaret tablosunu x ∈ [0, 4) için T(x) > 0, x = 4 için T(x) = 0, x ∈ (4, 10] için T(x) < 0 biçiminde oluşturma (2 puan)
• Hava sıcaklığının 0 °C'tan düşük olduğu yükseklikleri (4, 10] bulma (1 puan)

Örnek doğru cevap: 8.1. Sıcaklık deniz seviyesinde 24 °C'tur ve her 1 km'de 6 °C azalır. Bu nedenle T: [0, 10] → ℝ, T(x) = −6x + 24 olur. f fonksiyonunun tanım aralığındaki her eleman −6 katı ile eşlenirse m(x) = −6x fonksiyonu elde edilir; eğim 1'den −6'ya değişir ve doğru azalan olur. m fonksiyonunun grafiği y ekseni boyunca pozitif yönde 24 birim ötelenip [0, 10] aralığıyla sınırlandırılırsa T fonksiyonunun grafiği elde edilir. 8.2. −6x + 24 = 0 ise x = 4 olur; T fonksiyonunun sıfırı 4'tür. x ∈ [0, 4) için T(x) pozitif, x ∈ (4, 10] için T(x) negatiftir. Hava sıcaklığı (4, 10] aralığındaki yüksekliklerde 0 °C'tan düşüktür.

Yanlış cevap: Fonksiyonu T(x) = 6x + 24, T(x) = −6x − 24 ya da T(x) = 24x − 6 biçiminde yazan; dönüşümleri "grafik 24 birim sağa ötelenir" biçiminde açıklayan; sıfırı x = −4 ya da x = 24 bulan; işaret tablosunda işaretleri ters yazan; 0 °C'tan düşük sıcaklıkların bulunduğu yükseklikleri [0, 4) olarak yazan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

9.1. (5 puan)

• K(x) = f(x + 273) olduğunu, K fonksiyonunun grafiğinin f fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca negatif yönde 273 birim ötelenmesiyle elde edildiğini açıklama (2 puan). (K(x) = f(x) + 273 yazarak grafiğin y ekseni boyunca pozitif yönde 273 birim ötelendiğini açıklayan öğrenci de tam puan alır; f(x) = x için iki öteleme aynı doğruyu verir.)
• Tanım kümesini [−273, ∞), görüntü kümesini [0, ∞) yazma (2 puan; yalnızca biri doğruysa 1 puan). (Mutlak sıfıra ulaşılamayacağını belirterek tanım kümesini (−273, ∞), görüntü kümesini (0, ∞) yazan öğrenci de bu ölçütten tam puan alır.)
• K(−273) = 0 olduğundan K fonksiyonunun sıfırının −273 olduğunu, mutlak sıfırın Kelvin ölçeğinde 0 K'e karşılık geldiğini ve Kelvin ölçeğinde negatif değer bulunmadığını (0'ın K fonksiyonunun minimum değeri olduğunu) açıklama (1 puan)

9.2. (5 puan)

• F fonksiyonunu temsil eden doğrunun eğiminin 1,8, f fonksiyonununkinin 1 olduğunu; 1,8 > 1 olduğundan F fonksiyonunun grafiğinin daha dik olduğunu (Celsius ölçeğindeki 1 derecelik değişimin Fahrenheit ölçeğinde 1,8 derecelik değişime karşılık geldiğini) belirtme (1 puan)
• F(x) = f(x) eşitliğinden 1,8x + 32 = x, 0,8x = −32 ve x = −40 bularak −40 °C = −40 °F olduğunu belirtme (2 puan)
• x > −40 için F(x) − x = 0,8x + 32 = 0,8 · (x + 40) > 0 olduğunu (ya da eğimi daha büyük olan F fonksiyonunun grafiğinin kesişim noktasının sağında f fonksiyonunun grafiğinin üstünde kaldığını) belirterek Fahrenheit ölçeğindeki değerin daha büyük olduğunu açıklama (2 puan)

Örnek doğru cevap: 9.1. K(x) = x + 273 = f(x + 273) olduğundan K fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca negatif yönde 273 birim ötelenmesiyle elde edilir. Sıcaklık −273 °C'tan düşük olamayacağı için tanım kümesi [−273, ∞) olur. K(−273) = 0 ve K artan bir fonksiyon olduğundan görüntü kümesi [0, ∞) olur. K(x) = 0 ise x = −273 bulunur; K fonksiyonunun sıfırı −273'tür. Mutlak sıfır Kelvin ölçeğinde 0 K'dir ve Kelvin ölçeğinde negatif sıcaklık değeri yoktur. 9.2. F fonksiyonunu temsil eden doğrunun eğimi 1,8, f fonksiyonunu temsil eden doğrunun eğimi 1'dir. 1,8 > 1 olduğundan F fonksiyonunun grafiği daha diktir. 1,8x + 32 = x ise 0,8x = −32 ve x = −40 olur. −40 °C, Fahrenheit ölçeğinde de −40 °F'tır. x > −40 için F(x) − x = 0,8x + 32 = 0,8 · (x + 40) > 0 olduğundan F(x) > x olur. Bu sıcaklıktan daha yüksek sıcaklıklarda Fahrenheit ölçeğindeki değer daha büyüktür.

Yanlış cevap: K fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca pozitif yönde 273 birim ötelendiğini söyleyen; tanım kümesini ℝ ya da [0, ∞), görüntü kümesini [−273, ∞) olarak yazan; K fonksiyonunun sıfırını 273 bulan; F fonksiyonunun eğimini 32 olarak belirten; 1,8x + 32 = x denkleminden x = 40 ya da x = −17,8 bulan; "Fahrenheit ölçeğindeki değer her zaman daha büyüktür." biçiminde koşulsuz yargı bildiren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.