Doğru cevap:

1.1. (5 puan)

• Uzaklıkları 3,84 · 10⁵ < 5,46 · 10⁷ < 1,5 · 10⁸ < 2,6 · 10¹⁰ biçiminde, yani Ay, Mars, Güneş, Voyager 1 sırasıyla doğru sıralama (3 puan; yalnızca iki uzaklığın yeri yanlışsa 1 puan)
• Bilimsel gösterimde önce 10'un kuvvetlerinin karşılaştırılması gerektiğini, 10'un kuvveti büyük olan sayının daha büyük olduğunu; 10'un kuvvetlerinin önündeki sayıların ancak üsler eşit olduğunda karşılaştırılabileceğini açıklama (ör. 1,5 · 10⁸ = 15 · 10⁷ > 5,46 · 10⁷) (2 puan)

1.2. (5 puan)

• "Ulaşma süresi = Uzaklık ÷ Sinyalin 1 saniyede aldığı yol" önermesini yazma (1 puan)
• Ay için (3,84 · 10⁵) ÷ (3 · 10⁵) = 1,28 · 10⁰ = 1,28 saniye bulma (2 puan)
• Güneş için (1,5 · 10⁸) ÷ (3 · 10⁵) = 0,5 · 10³ = 5 · 10² = 500 saniye (8 dakika 20 saniye) bulma (2 puan)

1.3. (5 puan)

• Komutun Mars'a ulaşma süresini (5,46 · 10⁷) ÷ (3 · 10⁵) = 1,82 · 10² = 182 saniye bulma (2 puan)
• Komutun gidişi ve onay sinyalinin dönüşü için en az 2 · 182 = 364 saniye (6 dakika 4 saniye) geçeceğini bulma (1 puan)
• Aracın gönderdiği görüntülerin Dünya'ya, Dünya'dan gönderilen komutların da araca en az 3 dakikada ulaştığını; bu sürede araç hareket etmeye devam edeceği için önüne çıkan bir engel karşısında zamanında durdurulamayacağını, bu nedenle aracın önceden gönderilen komutlarla ve kendi algılayıcılarıyla hareket etmesi gerektiğini açıklama (2 puan)

1.4. (5 puan)

• Sinyalin 1 günde aldığı yolu (3 · 10⁵) · (8,64 · 10⁴) = 25,92 · 10⁹ = 2,592 · 10¹⁰ km bulma ya da sinyalin Voyager 1'e ulaşma süresini (2,6 · 10¹⁰) ÷ (3 · 10⁵) ≈ 0,867 · 10⁵ = 8,67 · 10⁴ saniye bulma (3 puan)
• 2,592 · 10¹⁰ ≈ 2,6 · 10¹⁰ (ya da 8,67 · 10⁴ ≈ 8,64 · 10⁴) olduğundan öğrencinin ifadesinin doğru olduğunu belirtme (2 puan)

(Öğretmen için not: NASA'nın açıklamasına göre Voyager 1'in Dünya'ya uzaklığı 18 Kasım 2026'da 1 ışık gününe, yani yaklaşık 2,59 · 10¹⁰ km'ye ulaşmaktadır.)

Örnek doğru cevap: 1.1. Bilimsel gösterimde verilen sayılar karşılaştırılırken önce 10'un kuvvetlerine bakılır. 10⁵ < 10⁷ < 10⁸ < 10¹⁰ olduğundan sıralama 3,84 · 10⁵ < 5,46 · 10⁷ < 1,5 · 10⁸ < 2,6 · 10¹⁰, yani Ay < Mars < Güneş < Voyager 1 olur. Öğrenci 10'un kuvvetlerini dikkate almadığı için hata yapmıştır. Örneğin 1,5 · 10⁸ = 15 · 10⁷ olduğundan Güneş'in uzaklığı Mars'ın en yakın uzaklığından büyüktür. Önündeki sayılar ancak 10'un kuvvetleri eşitlendiğinde karşılaştırılabilir. 1.2. Ulaşma süresi, uzaklığın sinyalin 1 saniyede aldığı yola bölünmesiyle bulunur. Ay için (3,84 · 10⁵) ÷ (3 · 10⁵) = 1,28 · 10⁵⁻⁵ = 1,28 saniyedir. Güneş için (1,5 · 10⁸) ÷ (3 · 10⁵) = 0,5 · 10⁸⁻⁵ = 0,5 · 10³ = 500 saniyedir. Güneş'ten çıkan ışık Dünya'ya 8 dakika 20 saniyede ulaşır. 1.3. Komut Mars'a (5,46 · 10⁷) ÷ (3 · 10⁵) = 1,82 · 10² = 182 saniyede ulaşır. Onay sinyalinin dönüşü de 182 saniye sürer. Toplam en az 364 saniye, yani 6 dakika 4 saniye geçer. Araç bir engele yaklaştığında bu görüntü Dünya'ya 3 dakikadan fazla sürede ulaşır, "Dur." komutu da araca 3 dakikadan fazla sürede ulaşır. Bu sürede araç engele çarpabilir. Bu nedenle araç uzaktan kumandalı bir oyuncak gibi anlık olarak yönlendirilemez. 1.4. Sinyal 1 günde (3 · 10⁵) · (8,64 · 10⁴) = 25,92 · 10⁹ = 2,592 · 10¹⁰ km yol alır. Bu değer yaklaşık 2,6 · 10¹⁰ km'dir ve Voyager 1'in uzaklığına eşittir. Öğrencinin ifadesi doğrudur.

Yanlış cevap: Sayıları yalnızca 10'un kuvvetlerinin önündeki sayılara göre sıralayan (Güneş, Voyager 1, Ay, Mars); bölme işleminde üsleri çıkarmak yerine toplayan (ör. Ay için 1,28 · 10¹⁰ saniye bulan) veya bölen; Güneş için 5 · 10³ saniye bulan; Mars için yalnızca tek yön süresini (182 saniye) bulup onay sinyalini hesaba katmayan; çarpma işleminde üsleri çarparak 25,92 · 10²⁰ km bulan; "Uzay araçlarına sinyal anında ulaşır." biçiminde yorum yapan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

2.1. (4 puan)

• Bölümlerin kenar uzunluklarını √12 = 2√3 m, √27 = 3√3 m ve √48 = 4√3 m biçiminde kök dışına çıkararak bulma (2 puan; üç kenar uzunluğundan yalnızca biri veya ikisi doğruysa 1 puan)
• Kökleri aynı olan ifadeleri toplayarak 2√3 + 3√3 + 4√3 = (2 + 3 + 4)√3 = 9√3 m bulma (2 puan)

2.2. (6 puan)

• Dış sınırı oluşturan kenarları belirleme: alt kenar 9√3 m; üstteki yatay kenarların toplamı 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m; sol kenar 2√3 m, sağ kenar 4√3 m; basamaklardaki dikey kenarlar (3√3 − 2√3) + (4√3 − 3√3) = 2√3 m (2 puan)
• Çitin uzunluğunu 9√3 + 9√3 + 2√3 + 4√3 + 2√3 = 26√3 m bulma (1 puan)
• √3 < 1,8 olduğundan eşitsizliğin taraflarını 26 ile çarparak 26√3 < 46,8 bulma (44,2 < 26√3 < 46,8 biçiminde iki sınırın birlikte yazılması da kabul edilir) (2 puan)
• 26√3 < 46,8 < 50 olduğundan 50 m uzunluğundaki çitin yeteceğini belirtme (1 puan)

Örnek doğru cevap: 2.1. Kum havuzunun bir kenarı √12 = √(4 · 3) = 2√3 m, kaydırak bölümünün bir kenarı √27 = √(9 · 3) = 3√3 m, salıncak bölümünün bir kenarı √48 = √(16 · 3) = 4√3 m'dir. Yürüyüş yoluna bitişik kenar 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m'dir. 2.2. Oyun alanının alt kenarı 9√3 m'dir. Üst taraftaki yatay kenarların toplamı da 2√3 + 3√3 + 4√3 = 9√3 m'dir. Dikey kenarlar soldan sağa 2√3 m, 3√3 − 2√3 = √3 m, 4√3 − 3√3 = √3 m ve 4√3 m'dir. Çitin uzunluğu 9√3 + 9√3 + 2√3 + √3 + √3 + 4√3 = 26√3 m olur. 1,7 < √3 < 1,8 ise 26 · 1,7 < 26√3 < 26 · 1,8, yani 44,2 < 26√3 < 46,8 olur. Gereken çit 46,8 m'den kısa olduğundan 50 m uzunluğundaki çit yeter.

Yanlış cevap: Kenar uzunluklarını √12 + √27 + √48 = √87 biçiminde köklerin içini toplayarak bulan; kenar uzunluklarını alanların yarısı (6, 13,5 ve 24 m) ya da dörtte biri olarak alan; çitin uzunluğunu her karenin çevresini ayrı ayrı toplayarak 36√3 m bulan ya da yalnızca alt ve üst kenarları toplayarak 18√3 m bulan; yalnızca alt sınırı (26 · 1,7 = 44,2 m) kullanarak çitin yeteceğine karar veren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

3.1. (5 puan)

• Her kesme işleminde alanın yarıya indiğini belirterek A4 kâğıdının alanını 1 · 2⁻¹ · 2⁻¹ · 2⁻¹ · 2⁻¹ = 2⁻⁴ m² (1/16 m²) bulma (2 puan)
• Bir A0 kâğıdından 1 ÷ 2⁻⁴ = 2⁴ = 16 tane A4 kâğıdı elde edileceğini bulma (1 puan)
• Paketin kütlesini 500 · 2⁻⁴ · 80 = 500 · 5 = 2500 g = 2,5 kg bulma (2 puan)

3.2. (5 puan)

• A1 kâğıdının uzun kenarının b metre, kısa kenarının a/2 metre olduğunu yazma (2 puan)
• Oranların eşitliğinden a/b = b ÷ (a/2) = 2b/a ve a² = 2b² eşitliğini elde etme (2 puan)
• a ve b pozitif olduğundan a/b = √2 bulma (1 puan)

3.3. (5 puan)

• a = √2 · b eşitliğini a · b = 1 eşitliğinde yerine yazarak √2 · b² = 1, b² = 1/√2 ve b = 1/√(√2) = 1/⁴√2 m bulma (2 puan)
• a = 1/b = ⁴√2 m bulma (1 puan)
• Paydayı rasyonel sayı yaparak b = (1 · ⁴√8)/(⁴√2 · ⁴√8) = ⁴√8/⁴√16 = ⁴√8/2 m yazma (1 puan)
• a ≈ 1,189 m = 1189 mm ve b ≈ 1,682 ÷ 2 = 0,841 m = 841 mm bulma (1 puan)

3.4. (5 puan)

• A1 kâğıdının kenarlarının b ve a/2, A2 kâğıdının a/2 ve b/2, A3 kâğıdının b/2 ve a/4, A4 kâğıdının a/4 ve b/4 olduğunu belirterek A4 kâğıdının kenar uzunluklarının A0 kâğıdınınkilerin 1/4 = 2⁻² katı olduğunu bulma (2 puan)
• A4 kâğıdının kenar uzunluklarını 1189 · 2⁻² = 297,25 mm ve 841 · 2⁻² = 210,25 mm bulma (2 puan)
• Değerleri yuvarlayarak 297 mm ve 210 mm bulma ve bu ölçülerin günlük hayatta kullanılan A4 kâğıdının ölçüleriyle aynı olduğunu belirtme (1 puan)

Örnek doğru cevap: 3.1. Her kesmede kâğıdın alanı yarıya iner. A1 kâğıdının alanı 2⁻¹ m², A2 kâğıdının alanı 2⁻² m² olur. Bu şekilde devam edilirse A4 kâğıdının alanı 2⁻⁴ m² = 1/16 m² bulunur. Bir A0 kâğıdından 1 ÷ 2⁻⁴ = 2⁴ = 16 tane A4 kâğıdı elde edilir. Bir A4 kâğıdının kütlesi 80 · 2⁻⁴ = 80 ÷ 16 = 5 g'dır. 500 yapraklık paketin kütlesi 500 · 5 = 2500 g, yani 2,5 kg'dır. 3.2. A0 kâğıdı uzun kenarının orta noktasından kesildiğinde A1 kâğıdının uzun kenarı b, kısa kenarı a/2 olur. Oranlar eşit olduğundan a/b = b ÷ (a/2) = 2b/a olur. İçler dışlar çarpımı yapılırsa a² = 2b² ve a/b = √2 bulunur. 3.3. a = √2 · b olduğundan a · b = √2 · b² = 1 ve b² = 1/√2 olur. Buradan b = 1/√(√2) = 1/⁴√2 m ve a = 1/b = ⁴√2 m bulunur. b = 1/⁴√2 = ⁴√8/(⁴√2 · ⁴√8) = ⁴√8/⁴√16 = ⁴√8/2 m'dir. a ≈ 1,189 m = 1189 mm, b ≈ 1,682 ÷ 2 = 0,841 m = 841 mm'dir. 3.4. A1 kâğıdının kenarları b ve a/2, A2 kâğıdının kenarları a/2 ve b/2'dir. Her iki kesmede kenarlar yarıya indiğinden A4 kâğıdının kenarları a/4 ve b/4, yani A0 kâğıdının kenarlarının 2⁻² katıdır. Uzun kenar 1189 · 2⁻² = 297,25 mm ≈ 297 mm, kısa kenar 841 · 2⁻² = 210,25 mm ≈ 210 mm'dir. Bulunan ölçüler, kullandığımız A4 kâğıdının 210 mm × 297 mm ölçüleriyle aynıdır.

Yanlış cevap: A4 kâğıdının alanını 4 · 2⁻¹ = 2 m² ya da 2⁴ m² bulan; A0 kâğıdından 4 ya da 8 tane A4 kâğıdı elde edileceğini söyleyen; paketin kütlesini 500 · 80 = 40 000 g bulan; A1 kâğıdının kenarlarını a/2 ve b/2 alan; a/b oranını 2 bulan; b = 1/⁴√2 ifadesinde payı ve paydayı ⁴√2 ile genişleterek paydayı rasyonel yaptığını düşünen; A4 kâğıdının kenar uzunluklarını A0 kâğıdınınkilerin 2⁻⁴ katı alarak 74 mm ve 53 mm bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

4.1. (5 puan)

• A = [20, 20 000], B = [67, 45 000] ve C = [16, 12 000] kapalı aralıklarını yazma (3 puan; her aralık 1 puan)
• Her aralığı sayı doğrusunda uç noktaları içi dolu daire ile işaretleyerek gösterme (2 puan; yalnızca bir veya iki aralık doğru gösterildiyse 1 puan)

4.2. (5 puan)

• Köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekansların kümesini B \ A (ya da B ∩ A′) biçiminde ifade etme (1 puan)
• B \ A = (20 000, 45 000] bulma (2 puan)
• Ortak özellik yöntemiyle {x | 20 000 < x ≤ 45 000, x ∈ ℝ} biçiminde yazma (1 puan)
• Sayı doğrusunda 20 000 noktasını içi boş, 45 000 noktasını içi dolu daire ile işaretleyerek gösterme (1 puan)

4.3. (5 puan)

• Üç canlının da duyabildiği frekansların kümesini A ∩ B ∩ C = [67, 12 000] bulma (2 puan; yalnızca sembolle ifade edilip aralık yanlış bulunduysa 1 puan)
• En az birinin duyabildiği frekansların kümesini A ∪ B ∪ C = [16, 45 000] bulma (2 puan; yalnızca sembolle ifade edilip aralık yanlış bulunduysa 1 puan)
• 18 ∈ C, 18 ∉ A ve 18 ∉ B olduğundan 18 Hz frekanslı sesi yalnızca filin duyabileceğini açıklama (1 puan)

Örnek doğru cevap: 4.1. A = [20, 20 000], B = [67, 45 000], C = [16, 12 000] olur. Uç noktalar aralığa dâhil olduğundan sayı doğrusunda içi dolu daire ile gösterilir (şekil). 4.2. Köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekanslar B kümesinde olup A kümesinde olmayan frekanslardır. Bu küme B \ A ile gösterilir. B \ A = (20 000, 45 000] olur. Ortak özellik yöntemiyle B \ A = {x | 20 000 < x ≤ 45 000, x ∈ ℝ} biçiminde yazılır. 20 000 Hz'i insan duyabildiği için 20 000 aralığa dâhil değildir; sayı doğrusunda içi boş daire ile gösterilir. 4.3. Üç canlının da duyabildiği frekanslar A ∩ B ∩ C = [67, 12 000] kümesindedir. Bu canlılardan en az birinin duyabildiği frekanslar A ∪ B ∪ C = [16, 45 000] kümesindedir. 18 ∈ C ancak 18 ∉ A ve 18 ∉ B olduğundan 18 Hz frekanslı sesi yalnızca fil duyabilir.

Yanlış cevap: Aralıkları açık aralık olarak yazan ya da uç noktaları içi boş daire ile gösteren; köpeklerin duyabildiği ancak insanların duyamadığı frekansları A \ B ya da A ∩ B biçiminde ifade eden; B \ A kümesini [20 000, 45 000] ya da (20 000, 45 000) bulan; kesişim kümesini [16, 45 000], birleşim kümesini [67, 12 000] biçiminde karıştıran; 18 Hz'lik sesi insanın da duyabileceğini söyleyen cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

5.1. (5 puan)

• ℕ ⊂ T olduğunu, her k doğal sayısı için k = 100k/100 ve 100k ∈ ℕ olduğu gerekçesiyle belirtme (2 puan; gerekçesiz yalnızca ilişki yazıldıysa 1 puan)
• T ⊂ ℚ olduğunu, T'nin her elemanının iki tam sayının oranı (paydası sıfırdan farklı) biçiminde yazılabildiği gerekçesiyle belirtme (1 puan)
• T ⊄ ℤ olduğunu karşıt örnekle gösterme (ör. 0,01 ∈ T ancak 0,01 ∉ ℤ) (1 puan)
• ℤ ⊄ T olduğunu karşıt örnekle gösterme (ör. −1 ∈ ℤ ancak −1 ∉ T) (1 puan)

5.2. (5 puan)

• T kümesinin sıralı olduğunu, elemanlarının birbiriyle karşılaştırılabildiğini belirtme (ör. 2,37 < 2,38) (1 puan)
• T kümesinde arada olma özelliğinin olmadığını gösterme: 2,37 = 237/100 ve 2,38 = 238/100 olup 237 ile 238 arasında doğal sayı bulunmadığından 2,37 ile 2,38 arasında T kümesinin hiçbir elemanı yoktur (2 puan)
• Gerçek sayılar kümesinde arada olma özelliği olduğundan yüzüğün kütlesinin 2,37 ile 2,38 arasında bir gerçek sayı (ör. 2,375 g) olabileceğini, terazinin bu değeri gösteremeyip yalnızca T kümesindeki bir değeri (2,37 ya da 2,38) gösterebileceğini belirterek kuyumcunun ifadesinin doğru olduğunu açıklama (2 puan)

5.3. (5 puan)

• T kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu cebirsel olarak gösterme: n, m ∈ ℕ için n/100 + m/100 = (n + m)/100 ve n + m ∈ ℕ olduğundan sonuç T kümesinin elemanıdır (2 puan)
• T kümesinin çarpma işlemine göre kapalı olmadığını karşıt örnekle gösterme: 0,01 · 0,01 = 0,0001 = 1/10 000 ve bu sayı n/100 biçiminde n doğal sayısıyla yazılamadığından 0,0001 ∉ T (2 puan)
• T toplama işlemine göre kapalı olduğundan iki kütlenin toplamının da virgülden sonra en çok iki basamaklı, ekranda görülebilecek bir değer olduğunu açıklama (1 puan)

Örnek doğru cevap: 5.1. Her k doğal sayısı k = 100k/100 biçiminde yazılabilir ve 100k bir doğal sayıdır. Bu nedenle ℕ ⊂ T olur. T'nin her elemanı n/100 biçiminde, iki tam sayının oranı olduğundan T ⊂ ℚ olur. 0,01 ∈ T ancak 0,01 ∉ ℤ olduğundan T ⊄ ℤ olur. −1 ∈ ℤ ancak −1 ∉ T olduğundan ℤ ⊄ T olur. 5.2. T kümesinin elemanları birbiriyle karşılaştırılabildiği için T sıralı bir kümedir; örneğin 2,37 < 2,38 olur. 2,37 = 237/100 ve 2,38 = 238/100 biçiminde yazılır. 237 ile 238 arasında doğal sayı olmadığından 2,37 ile 2,38 arasında T'nin hiçbir elemanı yoktur. Bu nedenle T kümesinde arada olma özelliği yoktur. Gerçek sayılar kümesinde ise arada olma özelliği vardır. Yüzüğün kütlesi örneğin 2,375 g olabilir. Terazi bu değeri gösteremez, ekranda T kümesinin bir elemanı olan 2,37 ya da 2,38 görülür. Kuyumcunun ifadesi doğrudur. 5.3. n, m ∈ ℕ olmak üzere n/100 + m/100 = (n + m)/100 olur. n + m ∈ ℕ olduğundan toplam T'nin elemanıdır; T toplama işlemine göre kapalıdır. 0,01 ∈ T olduğu hâlde 0,01 · 0,01 = 0,0001 sayısı virgülden sonra dört basamaklıdır ve T'nin elemanı değildir. T çarpma işlemine göre kapalı değildir. T toplama işlemine göre kapalı olduğundan ayrı ayrı tartılan iki ürünün ekranda görülen kütlelerinin toplamı da ekranda görülebilecek bir değerdir.

Yanlış cevap: T ⊂ ℤ ya da T ⊂ ℕ yazan; ℕ ile T arasında ilişki olmadığını söyleyen; "T kümesinin elemanları ondalık sayı olduğu için arada olma özelliği vardır." diyen; arada olma özelliğini yalnızca gerçek sayılar için inceleyip T kümesi için incelemeyen; çarpma işleminin kapalı olmadığını göstermek için T kümesinde olmayan sayılarla örnek veren; toplama işleminin kapalılığını yalnızca tek bir örnekle (ör. 0,01 + 0,02 = 0,03) gösterip genelleme yapan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

6.1. (5 puan)

• Yöntemi (a − b) · (a + b) = a² − b² eşitliği (iki terimin karelerinin farkı özdeşliği) olarak yazma (2 puan)
• Eşitliğin doğruluğunu işlem özellikleriyle gösterme: (a − b) · (a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b (çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği) = a² − ba + ab − b² (çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği) = a² − b² (çarpma işleminin değişme özelliğiyle ba = ab; toplama işlemine göre ters eleman ve etkisiz eleman 0 ile −ab + ab = 0) (3 puan; adımlar doğru ancak işlem özellikleri belirtilmediyse 2 puan)

6.2. (5 puan)

• Tutarı 98 · 102 = (100 − 2) · (100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996 TL bulma (2 puan)
• (50 − k) · (50 + k) = 50² − k² = 2500 − k² eşitliğini yazma (1 puan)
• k ≠ 0 olduğundan k² > 0 ve 2500 − k² < 2500 olduğunu belirterek önermenin doğru olduğunu gösterme (2 puan)

Örnek doğru cevap: 6.1. Elif Hanım çarpılan sayıları 50 sayısından 1 eksik ve 1 fazla olarak yazmış, (a − b) · (a + b) = a² − b² eşitliğini kullanmıştır. Bu eşitlik her a ve b gerçek sayısı için doğrudur: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden (a − b) · (a + b) = (a − b) · a + (a − b) · b olur. Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğinden bu ifade a² − ba + ab − b² olur. Çarpma işleminin değişme özelliğinden ba = ab'dir. Toplama işlemine göre ters elemanlar toplandığında −ab + ab = 0 olur ve 0 toplama işleminin etkisiz elemanı olduğundan sonuç a² − b² bulunur. 6.2. 98 · 102 = (100 − 2) · (100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996 TL ödenir. Toplamı 100 olan iki farklı gerçek sayı 50 − k ve 50 + k (k ≠ 0) ise çarpımları (50 − k) · (50 + k) = 2500 − k² olur. k ≠ 0 olduğundan k² > 0'dır. Bu nedenle 2500 − k² < 2500 olur. Önerme doğrudur.

Yanlış cevap: Eşitliği (a − b) · (a + b) = a² + b² ya da (a − b)² biçiminde yazan; eşitliğin doğruluğunu yalnızca sayısal örneklerle (ör. 49 · 51 = 2499) gösterip genelleme yapan; 98 · 102 işleminde 100² + 2² = 10 004 TL bulan; (50 − k) · (50 + k) çarpımını 2500 − k ya da 2500 + k² bulan; k² değerinin negatif olabileceğini düşünerek önermenin yanlış olduğunu söyleyen; önermenin doğruluğunu yalnızca birkaç sayı çiftini deneyerek gösteren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.

Doğru cevap:

7.1. (4 puan)

• 1, 2 ve 3. halkalardaki taş sayılarını 3² − 1² = 8, 5² − 3² = 16 ve 7² − 5² = 24 olarak bulma (1 puan)
• n. halkanın dış sınırını oluşturan karenin bir kenarında 2n + 1 taş bulunduğunu yazma (1 puan)
• n. halkadaki taş sayısını, kenarında 2n + 1 taş bulunan karedeki taş sayısından kenarında 2n − 1 taş bulunan içteki karedeki taş sayısını çıkararak (2n + 1)² − (2n − 1)² biçiminde ifade etme (2 puan)

7.2. (4 puan)

• Önermeyi ∀n ∈ ℤ⁺ için (2n + 1)² − (2n − 1)² = 8n biçiminde (ya da "8'in katıdır" ifadesini 8k, k ∈ ℤ⁺ ile göstererek) sembolik dille yazma (1 puan)
• İki terimin karelerinin farkı özdeşliğiyle (2n + 1)² − (2n − 1)² = [(2n + 1) − (2n − 1)] · [(2n + 1) + (2n − 1)] = 2 · 4n = 8n bulma ya da toplamın ve farkın karesi özdeşlikleriyle (4n² + 4n + 1) − (4n² − 4n + 1) = 8n bulma (2 puan)
• n pozitif tam sayı olduğundan 8n sayısının 8'in katı olduğunu belirterek ispatı tamamlama (1 puan)

7.3. (2 puan)

• 8n = 100 eşitliğinden n = 12,5 bulunduğunu, n pozitif tam sayı olmadığından 100 taşla bir halkanın eksiksiz döşenemeyeceğini (100 sayısının 8'in katı olmadığını) belirterek işçinin ifadesinin yanlış olduğunu açıklama (2 puan; 100 sayısının 8'in katı olmadığını belirtip işçinin ifadesi hakkında yargıya varmayan cevap 1 puan). (12. halkada 96, 13. halkada 104 taş bulunduğunu belirterek açıklayan öğrenci de tam puan alır.)

Örnek doğru cevap: 7.1. 1. halkada 3 · 3 − 1 = 8 taş, 2. halkada 5 · 5 − 3 · 3 = 16 taş, 3. halkada 7 · 7 − 5 · 5 = 24 taş vardır. n. halkanın dış sınırını oluşturan karenin bir kenarında 2n + 1 taş, bu halkanın içinde kalan karenin bir kenarında 2n − 1 taş bulunur. n. halkadaki taş sayısı (2n + 1)² − (2n − 1)² olur. 7.2. Önerme: ∀n ∈ ℤ⁺ için (2n + 1)² − (2n − 1)² = 8n'dir. Hipotez: n pozitif tam sayıdır. Hüküm: n. halkadaki taş sayısı 8'in katıdır. İspat: a² − b² = (a − b) · (a + b) özdeşliğinde a = 2n + 1 ve b = 2n − 1 alınırsa (2n + 1)² − (2n − 1)² = [(2n + 1) − (2n − 1)] · [(2n + 1) + (2n − 1)] = 2 · 4n = 8n olur. n pozitif tam sayı olduğundan 8n sayısı 8'in katıdır. Önerme doğrudur. 7.3. Bir halkadaki taş sayısı 8n olduğundan 8n = 100 ise n = 12,5 olur. n tam sayı olmadığından 100 taşla bir halka eksiksiz döşenemez. 12. halkada 96 taş, 13. halkada 104 taş vardır. İşçinin ifadesi yanlıştır.

Yanlış cevap: Halkalardaki taş sayılarını 8, 12, 16 ya da 9, 25, 49 olarak bulan; n. halkanın dış kenarındaki taş sayısını 2n ya da n + 2 olarak yazan; n. halkadaki taş sayısını (2n + 1)² olarak yazan; önermeyi yalnızca ilk birkaç halka için doğrulayıp genel ispat yapmayan; (2n + 1)² ifadesinin açılımını 4n² + 1 biçiminde yapan; 100 taşın 12 ya da 13. halkaya yettiğini söyleyen cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Cevap verilmemesi durumunda 0 puan verilir.