Doğru cevap:

• sin²α + cos²α = 1 özdeşliğini kullanarak (sinα + cosα)² = 1 + 2 · 0,48 = 1,96 ve (sinα − cosα)² = 1 − 2 · 0,48 = 0,04 eşitliklerini yazma; α dar açı olduğundan sinα + cosα = 1,4 ve sinα − cosα = 0,2 ya da −0,2 sonucuna ulaşma (3 puan). (Aynı sonuca sinα · cosα = tanα / (1 + tan²α) dönüşümüyle 12tan²α − 25tanα + 12 = 0 denklemi kurularak ulaşan öğrenci de tam puan alır.)
• İki durumu belirleme: sinα = 0,8 ve cosα = 0,6 (tanα = 4/3) ya da sinα = 0,6 ve cosα = 0,8 (tanα = 3/4) (1 puan)
• tanα = 4/3 durumunu inceleyip reddetme: Disk 6 birim alçalırken yatayda 6 ÷ (4/3) = 4,5 birim ilerler ve sol banttan 5,5 birim uzaklıktaki C' noktasında banda çarpar. Çarptıktan sonra 7 birim yükselmek için yatayda 7 ÷ (4/3) = 5,25 birim ilerlemesi gerekir; sol banttan 10,75 birim uzaklıkta üst banda çarpar, yani sağ banda ulaşmadan ikinci bir banda değer. Bu durum verilen koşula aykırıdır (2 puan)
• tanα = 3/4 durumunu inceleme: Disk 6 birim alçalırken yatayda 6 ÷ (3/4) = 8 birim ilerler; C noktası alt bant üzerinde sol banttan 9 birim uzaklıktaki kare köşesidir. Çarptıktan sonra sağ banda kadar yatayda 4 birim ilerlerken 4 · (3/4) = 3 birim yükselir ve kale ağzına alt banttan 3 birim yükseklikteki E noktasından (K ile L'nin tam ortası) girer, üst banda değmez. C ve E noktalarını şekil üzerinde gösterme (2 puan)
• Yolu hesaplama ve yorumlama: |AC| = 6 ÷ sinα = 6 ÷ 0,6 = 10 birim (ya da √(8² + 6²) = 10), |CE| = 3 ÷ 0,6 = 5 birim, toplam yol 15 birim; verilen çarpım değerinin iki farklı açı ölçüsüne karşılık geldiği, bu açılardan yalnızca tanα = 3/4 olanın tek çarpmayla kaleye girme koşulunu sağladığı yorumunu yapma (2 puan)

Örnek doğru cevap: sin²α + cos²α = 1 olduğundan (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2sinα · cosα = 1 + 0,96 = 1,96 ve sinα + cosα = 1,4 olur. Benzer şekilde (sinα − cosα)² = 1 − 0,96 = 0,04 ve sinα − cosα = ±0,2 olur. Buradan sinα = 0,8, cosα = 0,6 ya da sinα = 0,6, cosα = 0,8 bulunur; yani tanα = 4/3 ya da tanα = 3/4 olabilir. tanα = 4/3 ise disk A noktasından alt banda 6 birim inerken yatayda 4,5 birim ilerler, sol banttan 5,5 birim uzakta banda çarpar ve yükselirken sol banttan 10,75 birim uzakta üst banda çarpar; disk tek çarpmayla kaleye giremeyeceği için bu durum olamaz. tanα = 3/4 ise disk yatayda 8 birim ilerleyip sol banttan 9 birim uzaklıktaki C noktasında banda çarpar; ardından yatayda 4 birim ilerlerken 3 birim yükselerek kale ağzına alt banttan 3 birim yükseklikteki E noktasından girer. sinα = 0,6 olduğundan |AC| = 6 / 0,6 = 10 birim, |CE| = 3 / 0,6 = 5 birimdir. Diskin aldığı yol 10 + 5 = 15 birimdir. Verilen sinα · cosα değeri iki farklı α açısına karşılık gelse de diskin yalnızca bir kez banda çarparak kaleye girmesi koşulu yalnızca tanα = 3/4 durumunda sağlanmaktadır.

Yanlış cevap: sinα ve cosα değerlerini deneme yanılma ile tahmin edip hiçbir özdeşlik kullanmadan yazan, iki durumdan yalnızca birini bulup diğerini incelemeyen veya tanα = 4/3 durumunu reddetmeden iki farklı C noktası öneren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Yolu 15 birimden farklı bulan veya C noktasını alt bant üzerinde sol banttan 9 birim uzaklıktaki köşeden farklı bir yerde gösteren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• Birim çember üzerindeki k. lambanın (k = 1, 2, …, 17) koordinatlarının (cos(10k°), sin(10k°)) olduğunu belirtme (2 puan)
• Birbirini 180° ye tamamlayan açılar için birim çemberdeki simetriden cos(180° − x) = −cosx ve sin(180° − x) = sinx olduğunu belirtme (P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, …, P₈ ile P₁₀ lambaları y eksenine göre simetriktir.) (2 puan)
• X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 + 0 + … + 0 + 0 = 0 bulma (3 puan)
• Y = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° yazma; birbirini 90° ye tamamlayan açılarda sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan sin²10° + sin²80° = sin²10° + cos²10° = 1 gibi dört çift oluşturarak Y = 2 · 4 + 1 = 9 bulma (4 puan)
• Her lamba için sin²x + cos²x = 1 olduğundan Y + Z = 17 ve Z = 17 − 9 = 8 bulma (ya da Z değerini benzer eşlemelerle doğrudan hesaplama) (3 puan)
• Y / Z = 9/8 sonucunu yazma (1 puan)

Örnek doğru cevap: Birim çemberde bir açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi o açının kosinüsü, ordinatı sinüsüdür. Bu nedenle k. lambanın koordinatları (cos(10k°), sin(10k°)) olur. P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, … lambaları y eksenine göre simetrik olduğundan cos170° = −cos10°, cos160° = −cos20°, … ve sin170° = sin10°, sin160° = sin20°, … olur. X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 bulunur. Y = sin²10° + … + sin²170° = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° olur. sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan (sin²10° + cos²10°) + (sin²20° + cos²20°) + (sin²30° + cos²30°) + (sin²40° + cos²40°) = 4 ve Y = 2 · 4 + 1 = 9 olur. Her lamba için sin² + cos² = 1 olduğundan 17 lamba için Y + Z = 17, Z = 8 bulunur. Buradan X = 0 ve Y / Z = 9/8 olur.

Yanlış cevap: cos170° = cos10° gibi işaret hatası yaparak X değerini 0 dışında bulan, sin90° terimini unutarak Y = 8 bulan, Y ile Z değerlerini eşit kabul ederek Y / Z = 1 yazan veya değerleri yalnızca hesap makinesiyle bulup hiçbir özdeşliğe dayandırmayan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• K noktasının üç köşeye eşit uzaklıkta olduğu için kenar orta dikmelerin kesim noktası (çevrel çemberin merkezi) olduğunu belirtme; dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğundan K noktasının [BC] hipotenüsünün orta noktası olduğu sonucuna ulaşma (3 puan)
• |BC|² = 24² + 18² = 900, |BC| = 30 m ve |KA| = |KB| = |KC| = 15 m bulma; K noktasının [AB] kenarına uzaklığının 18 ÷ 2 = 9 m, [AC] kenarına uzaklığının 24 ÷ 2 = 12 m olduğunu belirleme (2 puan)
• S noktasının üç kenara eşit uzaklıkta olduğu için iç açıortayların kesim noktası (iç teğet çemberin merkezi) olduğunu belirtme (2 puan)
• S noktasının kenarlara uzaklığını r alarak A(ABC) = A(SAB) + A(SBC) + A(SAC) eşitliğinden ½ · 24 · 18 = ½ · r · (24 + 30 + 18), 216 = 36r ve r = 6 m bulma (3 puan). (r değerini teğet parçalarının eşitliğinden r = (24 + 18 − 30) ÷ 2 = 6 m olarak bulan öğrenci de tam puan alır.)
• S noktasının [AB] ve [AC] kenarlarına uzaklığının 6 m olduğunu kullanarak S ile K arasındaki yatay farkı 12 − 6 = 6 m ve dikey farkı 9 − 6 = 3 m olarak belirleme (2 puan)
• Oluşan dik üçgende Pisagor teoremiyle |SK|² = 6² + 3² = 45 ve |SK| = 3√5 m (yaklaşık 6,7 m) bulma (3 puan)

Örnek doğru cevap: Kule üç kapıya, yani üçgenin üç köşesine eşit uzaklıkta olacağından K noktası kenar orta dikmelerin kesim noktası, yani çevrel çemberin merkezidir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısı olduğundan [BC] kenarının orta noktası A, B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır; K, [BC] kenarının orta noktasıdır. |BC|² = 24² + 18² = 900 olduğundan |BC| = 30 m ve |KA| = |KB| = |KC| = 15 m'dir. K orta nokta olduğundan [AB] kenarına uzaklığı 9 m, [AC] kenarına uzaklığı 12 m'dir. Havuz üç yürüyüş yoluna, yani üçgenin üç kenarına eşit uzaklıkta olacağından S noktası iç açıortayların kesim noktası, yani iç teğet çemberin merkezidir. S noktasının kenarlara uzaklığı r olsun. A(ABC) = ½ · 24 · 18 = 216 m² ve A(ABC) = ½ · r · 24 + ½ · r · 30 + ½ · r · 18 = 36r olduğundan r = 6 m'dir. S noktası [AB] ve [AC] kenarlarına 6 m uzaklıktadır. S ile K arasında [AB] kenarına paralel doğrultuda 12 − 6 = 6 m, [AC] kenarına paralel doğrultuda 9 − 6 = 3 m fark vardır. |SK|² = 6² + 3² = 45 olduğundan kablonun uzunluğu |SK| = 3√5 m ≈ 6,7 m'dir.

Yanlış cevap: K noktasını ağırlık merkezi veya yüksekliklerin kesim noktası olarak, S noktasını kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak belirleyen; iç teğet çemberin yarıçapını 6 m'den farklı bulan veya kablonun uzunluğunu 3√5 m'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin [AB] tabanının ortak olduğunu, C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel d doğrusu üzerinde bulunduğundan [AB] kenarına ait yüksekliklerin eşit (5 birim) olduğunu belirtme (2 puan)
• A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkare bulma ve C köşesi d doğrusu üzerinde nereye taşınırsa taşınsın alanın değişmeyeceği sonucuna ulaşma (2 puan)
• Şekil 2'de taban uzunluğunun 8 + 2 = 10 birim, yüksekliğin 5 − 1 = 4 birim olduğunu belirleyerek A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkare bulma (2 puan)
• A(AB'C₃) / A(ABC₁) = 20 / 20 = 1 oranını bulma (2 puan)
• Taban uzunluğunun 5/4 katına çıktığını (%25 arttığını), yüksekliğin 4/5 katına indiğini (%20 azaldığını), alan taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan (5/4) · (4/5) = 1 olduğunu ve üçgenin biçimi değişse de alanın değişmediğini yorumlama (2 puan)

Örnek doğru cevap: Şekil 1'de ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin tabanı [AB] kenarıdır. C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel olan d doğrusu üzerinde olduğundan bu noktaların [AB] kenarına uzaklıkları, yani [AB] kenarına ait yükseklikler 5 birimdir. A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkaredir. Taban ve o tabana ait yükseklik değişmediği için C köşesi d doğrusu üzerinde hangi çiviye taşınırsa taşınsın alan değişmez. Şekil 2'de taban |AB'| = 10 birim, yükseklik 4 birim olduğundan A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkaredir. İstenen oran 20 / 20 = 1'dir. Taban 8 birimden 10 birime çıkarak 5/4 katına, yükseklik 5 birimden 4 birime inerek 4/5 katına değişmiştir. Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan alan (5/4) · (4/5) = 1 katına değişir, yani alan değişmez.

Yanlış cevap: C köşesi kaydırıldığında üçgenin biçimi değiştiği için alanın da değiştiğini öne süren; Şekil 2'de tabanın arttığını görüp yüksekliğin azaldığını dikkate almadan alanın arttığını söyleyen veya alan oranını 1'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• ABC üçgeninde kosinüs teoremini |AC|² = |AB|² + |BC|² − 2 · |AB| · |BC| · cos(ABC) biçiminde yazma (2 puan)
• Birim çemberden ya da bütünler açı ilişkisinden cos120° = −cos60° = −1/2 olduğunu belirtme (2 puan)
• |AC|² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · (−1/2) = 49 ve |AC| = 7 dm bulma (2 puan)
• A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesini çizme; H noktasının [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısında olduğunu ve m(ABH) = 180° − 120° = 60° olduğunu belirleme; ABH (30° − 60° − 90°) üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm ve |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm bulma (2 puan)
• AHC dik üçgeninde |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm alarak |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulma; iki yöntemin aynı sonucu verdiğini belirtme (2 puan)

Örnek doğru cevap: Kosinüs teoremine göre |AC|² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos120° olur. Birim çemberde 120° lik açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi −1/2 olduğundan cos120° = −1/2'dir. Buradan |AC|² = 9 + 25 + 15 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. Doğrulama için A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesi çizilir. m(ABC) = 120° olduğundan H noktası [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısı üzerindedir ve m(ABH) = 60°'dir. ABH dik üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm, |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm olur. |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm'dir. AHC dik üçgeninde Pisagor teoremiyle |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. İki yöntem de aynı sonucu verdiğinden bulunan uzaklık doğrulanmış olur.

Yanlış cevap: cos120° değerini 1/2 alarak |AC| = √19 dm bulan, kosinüs teoremindeki işaretleri hatalı yazan, dikme ayağını [BC] kenarı üzerinde alarak |CH| = 5 − 1,5 = 3,5 dm kullanan veya doğrulama adımını yapmadan yalnızca sonucu yazan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

6.1. İki yönlü (çapraz) sıklık tablosu (6 puan): "5.000'den az" satırının doğru oluşturulması (2 puan), "5.000 – 9.999" satırının doğru oluşturulması (2 puan), "10.000 ve üzeri" satırının ve toplam satır ile sütunlarının doğru oluşturulması (2 puan)

6.2. Koşullu göreli sıklık tablosu ve ilişkililik yorumu (14 puan)

1. Aşama: Koşullu göreli sıklık tablosu (8 puan): Koşullu göreli sıklıkların her hücredeki sıklığın kendi satır toplamına bölünmesiyle hesaplanması (2 puan), her satırdaki yüzdelerin doğru bulunması 2'şer puan (6 puan)

2. Aşama: İlişkililik yorumu (6 puan): Adım sayısı kategorileri arasında koşullu göreli sıklıkları karşılaştırarak eğilimi yüzdelerle açıklama (3 puan), iki değişken arasında bir ilişki olduğu sonucuna ulaşma (1 puan), bu ilişkinin neden-sonuç ilişkisi olarak yorumlanamayacağını başka etkenleri ve örneklemin küçüklüğünü dikkate alarak gerekçelendirme (2 puan)

Örnek doğru cevap: 6.1'deki iki yönlü tablo oluşturulur (5, 10 ve 5 öğrenciden oluşan satırlar; 5, 9 ve 6 öğrenciden oluşan sütunlar). Koşullu göreli sıklıklar satır toplamlarına göre hesaplanır. Örneğin 5.000'den az adım atan 5 öğrenciden 4'ünün nabzı 76 ve üzeri olduğundan bu hücrenin değeri 4 / 5 = %80'dir. Tablo incelendiğinde günlük 5.000'den az adım atan öğrencilerin %80'inin dinlenme nabzı 76 ve üzeridir, bu grupta nabzı 60 ve altı olan öğrenci yoktur. 5.000 – 9.999 adım atan öğrencilerin %60'ının nabzı 61 – 75 aralığındadır. 10.000 ve üzeri adım atan öğrencilerin %60'ının nabzı 60 ve altıdır, bu grupta nabzı 76 ve üzeri olan öğrenci yoktur. Adım sayısı kategorisi yükseldikçe dinlenme nabzı 60 ve altı olanların oranı %0, %20, %60 şeklinde artmakta; 76 ve üzeri olanların oranı %80, %20, %0 şeklinde azalmaktadır. Bu durum, günlük adım sayısı ile dinlenme nabzı arasında bir ilişki olduğunu gösterir. Ancak bu ilişki, çok adım atmanın nabzı düşürdüğü anlamına gelmez. Düzenli spor yapma, kalıtım, sağlık durumu gibi başka etkenler de dinlenme nabzını etkileyebilir. Ayrıca veriler yalnızca 20 öğrenciden elde edildiği için bu sonuç tüm öğrencilere genellenirken dikkatli olunmalıdır.

Yanlış cevap: 4 numaralı öğrenciyi (5.000 adım, 76 atım/dk) "5.000'den az" ya da "61 – 75" kategorisine yerleştirmek gibi sınır değerlerde hata yapan cevaplar ilgili satırdan puan alamaz. Koşullu göreli sıklıkları genel toplama (20) bölerek hesaplayan cevaplar 1. aşamanın hesaplama ölçütünden puan alamaz. "Çok adım atmak nabzı düşürür." gibi neden-sonuç ilişkisi kuran yorumlar 2. aşamanın gerekçelendirme ölçütünden puan alamaz. Yorumu eksik, yüzeysel veya yüzdelere dayanmadan yapan cevaplar 2. aşamada en fazla 3 puan alır.

Doğru cevap:

7.1. (6 puan)

• Değişkenleri ve kategorilerini yazma: güneş enerjisi sistemi kullanma durumu (kullanan / kullanmayan) ve aylık elektrik faturası (1.000 TL'den az / 1.000 TL ve üzeri) (2 puan)
• İki kategorik değişkeni ve ilgilenilen grubu açıkça içeren, değişkenler arasındaki ilişkiyi neden-sonuç ifadesi kullanmadan, tarafsız bir dille soran araştırma sorusu oluşturma (4 puan). Araştırma sorusu değişkenlerden yalnızca birini kapsıyorsa veya "Güneş paneli faturayı düşürür mü?" gibi taraflı / nedensellik içeren bir ifadeyse 2 puan verilir.

7.2. (14 puan)

• Boş hücreleri doldurma: Kullanan ve 1.000 TL ve üzeri: 20, Kullanmayan ve 1.000 TL'den az: 56, Kullanmayan toplamı: 160, 1.000 TL ve üzeri toplamı: 124 (2 puan)

• Koşullu göreli sıklıkları hesaplama, her hücre 1 puan (4 puan)

• Kümeli sütun grafiği: Sütunların güneş enerjisi sistemi kullanma durumuna göre gruplandırılması, sütun yüksekliklerinin koşullu göreli sıklıklarla uyumlu olması ve fatura kategorilerinin ayırt edilebilir biçimde gösterilmesi (3 puan)

• İlişkililik yorumu (5 puan): İki grubun koşullu göreli sıklıklarını karşılaştırma (2 puan), iki değişken arasında bir ilişki olduğu sonucuna ulaşma (1 puan), ilişkinin nedensellik anlamına gelmediğini başka etkenler ve gönüllü katılımla oluşan örneklemin genellemeye etkisi bağlamında gerekçelendirme (2 puan)

Örnek doğru cevap: 7.1. Değişkenler; güneş enerjisi sistemi kullanma durumu (kullanan / kullanmayan) ve aylık elektrik faturası (1.000 TL'den az / 1.000 TL ve üzeri) değişkenleridir. Araştırma sorusu: "Bu ilçede müstakil evlerde yaşayan hanelerin güneş enerjisi sistemi kullanma durumları ile aylık elektrik faturalarının 1.000 TL'den az ya da 1.000 TL ve üzeri olma durumu arasında bir ilişki var mıdır?" 7.2. Boş hücreler 80 − 60 = 20, 116 − 60 = 56, 56 + 104 = 160 ve 20 + 104 = 124 olarak doldurulur. Güneş enerjisi sistemi kullanan hanelerin 60 / 80 = %75'inin faturası 1.000 TL'den az, 20 / 80 = %25'inin faturası 1.000 TL ve üzeridir. Kullanmayan hanelerde bu oranlar 56 / 160 = %35 ve 104 / 160 = %65'tir. Grafikte güneş enerjisi sistemi kullanan hanelerde "1.000 TL'den az" sütunu, kullanmayan hanelerde "1.000 TL ve üzeri" sütunu daha yüksektir. Faturası 1.000 TL'den az olan hanelerin oranı kullananlarda %75, kullanmayanlarda %35 olduğundan koşullu göreli sıklıklar gruplar arasında belirgin biçimde farklılaşmaktadır; iki değişken arasında bir ilişki olduğu söylenebilir. Ancak bu ilişki, güneş enerjisi sisteminin faturayı düşürdüğünü tek başına kanıtlamaz. Hanedeki kişi sayısı, evin büyüklüğü, ısınmada elektrik kullanılıp kullanılmaması gibi başka etkenler de faturayı etkileyebilir. Ayrıca veriler ankete gönüllü olarak katılan hanelerden toplandığı için sonuçlar ilçedeki tüm müstakil evlere genellenirken dikkatli olunmalıdır.

Yanlış cevap: 7.1'de değişkenleri nicel veri olarak tanımlayan veya araştırma sorusunu betimsel biçimde ("Hanelerin kaçında güneş paneli vardır?") yazan cevaplar araştırma sorusu ölçütünden puan alamaz. 7.2'de koşullu göreli sıklıkları genel toplama (240) bölerek hesaplayan, grafikte sütunları fatura kategorilerine göre gruplandırıp yüzdeleri hatalı yerleştiren veya "Güneş paneli takan herkesin faturası düşer." gibi neden-sonuç ilişkisi kuran cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Yorumu eksik, yüzeysel veya akademik olmayan bir dille yapan cevaplar yorum ölçütünden en fazla 2 puan alır.