2026-2027
Bir bilgisayar oyununda hava hokeyi masası, aşağıdaki gibi eş karelere ayrılmış dikdörtgen biçimli bir zemin üzerinde modellenmiştir. Her bir karenin kenar uzunluğu 1 birimdir. Oyunda sürtünme ihmal edilmekte, disk doğrusal yollar izlemektedir.
Masanın uzunluğu 13 birim, genişliği 7 birimdir. A noktası sol banttan 1 birim, alt banttan 6 birim uzaklıktadır. Kale ağzının uç noktaları K ve L, sağ bant üzerinde alt banttan sırasıyla 4 birim ve 2 birim yüksekliktedir.
Oyuncu, A noktasındaki diski doğrusal bir yol boyunca fırlatmıştır. Disk, alt banda C noktasında yalnızca bir kez çarpmış; ardından başka hiçbir banda değmeden doğrusal bir yol izleyerek [KL] kale ağzından girmiştir. Disk banda çarptığında, banda gelirken ve banttan ayrılırken izlediği yolların her biri bantla α derecelik açı yapmaktadır (şeklin sağındaki gösterim).
sinα · cosα = 0,48 olduğuna göre trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak C noktasının ve diskin kale ağzından girdiği noktanın konumunu şekil üzerinde gösteriniz. Diskin A noktasından kale ağzına kadar aldığı yolun kaç birim olduğunu bulunuz ve elde ettiğiniz sonucu yorumlayınız. (10 puan)
Uluğ Bey ve Semerkant'taki gök bilimciler, gök cisimlerinin konumlarını hesaplarken trigonometrik değer tablolarından yararlanmıştır. Bu tür tablolar hazırlanırken birbiriyle ilişkili açıların trigonometrik değerleri arasındaki bağıntıları bilmek, yapılacak hesapların sayısını önemli ölçüde azaltır. (Bu metin soru için hazırlanmıştır.)
Bir bilim şenliği için hazırlanan yarım çember biçimli ışık panosu, aşağıdaki gibi dik koordinat düzleminde merkezi orijinde olan birim çemberin üst yarısı üzerinde modellenmiştir. Panodaki P₁, P₂, P₃, …, P₁₇ lambaları; [OP₁ ışını x ekseninin pozitif yönüyle 10° lik açı yapacak ve ardışık iki lambayı O noktasına birleştiren ışınlar arasındaki açıların her biri 10° olacak biçimde yerleştirilmiştir.
- X: Lambaların apsisleri toplamı
- Y: Lambaların ordinatlarının kareleri toplamı
olmak üzere X ve Y değerlerini trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak bulunuz. (10 puan)
Bir okulun düz çatısına, güneye bakan sıralar hâlinde güneş panelleri yerleştirilecektir. Yan görünüşü aşağıda verilen her panelin eğik kenar uzunluğu 2 m'dir ve her panel çatı zemini ile α ölçülü açı yapacak biçimde konumlandırılmıştır. Panellerin verimli çalışabilmesi için öndeki sıranın gölgesinin arkadaki sıranın üzerine düşmemesi gerekir. Bu nedenle hesaplamalar, güneşin gökyüzünde en alçakta seyrettiği kış gününe göre yapılmaktadır. Bu günün öğle saatlerinde güneş ışınlarının yatayla yaptığı açı θ'dır. (Bu metin soru için hazırlanmıştır.)
Şekilde öndeki panelin üst kenarından geçen güneş ışını, arkadaki panelin alt kenarına ulaşmaktadır. α ve θ dar açılar olmak üzere tanα = 3/4 ve sinθ = 8/17'dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
3.1. Trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak sinα ve cosα değerlerini bulunuz. Panelin üst kenarının çatı zemininden yüksekliğini ve panelin çatı zemininde kapladığı yatay uzunluğu hesaplayınız. (4 puan)
3.2. cotθ değerini trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak bulunuz. Öndeki panelin gölgesinin arkadaki panelin üzerine düşmemesi için ardışık iki sıranın ön kenarları arasındaki d uzaklığının en az kaç metre olması gerektiğini hesaplayınız. (6 puan)
Bir belediye, dik üçgen biçimindeki bir parkı yeniden düzenlemektedir. Parkın köşelerinde A, B ve C giriş kapıları bulunmakta; parkın kenarları boyunca [AB], [BC] ve [AC] yürüyüş yolları uzanmaktadır. m(BAC) = 90°, |AB| = 24 m ve |AC| = 18 m'dir.
Belediye;
- üç giriş kapısına eşit uzaklıkta olacak şekilde bir aydınlatma kulesini K noktasına,
- üç yürüyüş yoluna eşit uzaklıkta olacak şekilde bir süs havuzunun merkezini S noktasına
yerleştirmeyi planlamaktadır.
Buna göre K ve S noktalarının üçgenin hangi yardımcı elemanlarının kesişim noktası olduğunu gerekçesiyle belirtiniz. Aydınlatma kulesinin giriş kapılarına uzaklığını ve süs havuzunun merkezinin yürüyüş yollarına uzaklığını işlemlerinizle birlikte bulunuz. (10 puan)
Bir okulun çevre kulübü, okul bahçesindeki ABC üçgeni biçimindeki yeşil alanı 9, 10 ve 11. sınıfların bakımını üstleneceği bölümlere ayırmayı planlamaktadır. Yeşil alanın A, B ve C köşelerinde birer giriş kapısı bulunmaktadır. A köşesinden [BC] kenarına çizilen dikmenin ayağı H noktası olmak üzere |AH| = 45 m, |BH| = 4 m ve |BC| = 56 m'dir. (Bu metin soru için hazırlanmıştır.)
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
5.1. Kulüp önce yeşil alanı A kapısından [BC] kenarına uzanan doğrusal bir yolla alanları eşit iki bölüme ayırmayı düşünmüştür. Bu yolun [BC] kenarını hangi noktada kesmesi gerektiğini ve yolun üçgenin hangi yardımcı elemanı olduğunu gerekçesiyle belirtiniz. Bu yolun uzunluğunu hesaplayınız. (4 puan)
5.2. Kulüp daha sonra yeşil alanı, kenarortayların kesim noktası olan G noktasından A, B ve C kapılarına uzanan üç doğrusal yolla GBC, GCA ve GAB üçgensel bölgelerine ayırmaya karar vermiştir. Ağırlık merkezinin kenarortayı hangi oranda böldüğünü kullanarak G noktasının [BC] kenarına uzaklığını bulunuz. Üç bölgenin alanlarının eşit olduğunu gösteriniz. (6 puan)
Geometri tahtası, eşit aralıklarla dizilmiş çivilerden oluşan ve çivilere lastik geçirilerek çokgenler oluşturulan bir öğretim materyalidir. Aşağıdaki geometri tahtasında yatay ve dikey doğrultudaki ardışık iki çivi arasındaki uzaklık 1 birimdir.
Zeynep, Şekil 1'deki gibi lastiğin A ve B köşelerini sabit tutmuş; C köşesini [AB] kenarına paralel olan d doğrusu üzerindeki C₁ çivisinden C₂ çivisine taşımıştır. Şekil 1'de |AB| = 8 birimdir ve d doğrusu [AB] kenarından 5 birim uzaklıktadır.
Ardından Şekil 2'deki gibi lastiğin A köşesini sabit tutarak B köşesini aynı doğrultuda 2 birim sağa (B' çivisine), üçüncü köşeyi ise d doğrusunun 1 birim altındaki d' doğrusu üzerinde bulunan C₃ çivisine taşımıştır.
Buna göre C köşesinin d doğrusu üzerinde taşınmasının ve Şekil 2'deki düzenlemenin lastiğin oluşturduğu üçgenin alanını nasıl etkilediğini açıklayınız. Şekil 2'deki AB'C₃ üçgeninin alanının Şekil 1'deki ABC₁ üçgeninin alanına oranını bulunuz. (10 puan)
Bir robotik kodlama atölyesinde tasarlanan robot kolu; omuz eklemi A, dirsek eklemi B ve kolun ucu C olmak üzere iki doğrusal parçadan oluşmaktadır. |AB| = 3 dm ve |BC| = 5 dm olan kol, dirsek ekleminde m(ABC) = 120° olacak şekilde bükülmüştür.
Buna göre kolun ucu C ile omuz eklemi A arasındaki uzaklığın kaç desimetre olduğunu kosinüs teoremini kullanarak bulunuz. Bulduğunuz sonucu, A noktasından CB doğrusuna dikme çizerek Pisagor teoremi yardımıyla doğrulayınız. (10 puan)
Beden eğitimi ve spor öğretmeni Kerem Bey, akıllı bileklik kullanan 15 öğrencinin bir aylık günlük ortalama adım sayısı ile dinlenme nabzı (dinlenme hâlinde dakikadaki kalp atım sayısı) verilerini, öğrencilerin ve velilerinin onayını alarak ve öğrenci isimlerini gizli tutarak derlemiştir. Veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir. (Tablodaki veriler soru için hazırlanmıştır.)
| Öğrenci | Günlük ortalama adım sayısı | Dinlenme nabzı (atım/dk) | Öğrenci | Günlük ortalama adım sayısı | Dinlenme nabzı (atım/dk) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 7.850 | 72 | 9 | 2.800 | 88 |
| 2 | 11.200 | 58 | 10 | 8.700 | 59 |
| 3 | 3.900 | 82 | 11 | 4.820 | 79 |
| 4 | 5.000 | 76 | 12 | 9.650 | 61 |
| 5 | 9.400 | 64 | 13 | 13.100 | 55 |
| 6 | 4.650 | 75 | 14 | 3.450 | 81 |
| 7 | 12.600 | 60 | 15 | 10.800 | 71 |
| 8 | 10.000 | 66 |
Bilgi: Sağlıklı gençlerde dinlenme nabzı genellikle dakikada 60-100 atım arasındadır; düzenli spor yapanlarda 60'ın altına inebilir.
Tablodaki veriler;
- Günlük ortalama adım sayısı değişkeni için: 5.000'den az, 5.000 – 9.999, 10.000 ve üzeri
- Dinlenme nabzı değişkeni için: 60 ve altı, 61 – 75, 76 ve üzeri
kategorilerine ayrılarak iki kategorik değişkene dönüştürülmüştür.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
8.1. Verileri belirlenen kategorilere ayırarak günlük ortalama adım sayısı ve dinlenme nabzı değişkenlerine ait iki yönlü (çapraz) sıklık tablosunu oluşturunuz. (5 puan)
8.2. Günlük ortalama adım sayısı kategorilerine göre dinlenme nabzı kategorilerinin koşullu göreli sıklık yüzdelerini gösteren tabloyu oluşturunuz. Bu tablodan yararlanarak iki değişken arasındaki ilişkiyi yorumlayınız ve bu ilişkinin bir neden-sonuç ilişkisi olarak yorumlanıp yorumlanamayacağını gerekçesiyle belirtiniz. (10 puan)
Enerji tasarrufu konusunda çalışan bir lise öğrenci kulübü, bir ilçede müstakil evlerde yaşayan ve ankete gönüllü olarak katılan 240 hane ile bir araştırma yapmıştır. Ankette hanelere, evlerinde güneş enerjisi sistemi (güneş paneli) bulunup bulunmadığı ve son ay ödedikleri elektrik faturasının 1.000 TL'den az mı yoksa 1.000 TL ve üzeri mi olduğu sorulmuştur.
Toplanan verilerle oluşturulan iki yönlü tablo aşağıda verilmiştir. Tablonun bazı hücreleri boş bırakılmıştır. (Tablodaki veriler soru için hazırlanmıştır.)
| Güneş enerjisi sistemi / Aylık elektrik faturası | 1.000 TL'den az | 1.000 TL ve üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|
| Kullanan | 60 | 80 | |
| Kullanmayan | 104 | ||
| Toplam | 116 | 240 |
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
9.1. Bu araştırmadaki iki kategorik değişkeni ve bu değişkenlerin kategorilerini yazınız. Araştırmanın cevap aradığı, iki kategorik değişken arasındaki ilişkililiğe odaklanan istatistiksel araştırma sorusunu oluşturunuz. (5 puan)
9.2. Tablodaki boş hücreleri doldurunuz. Güneş enerjisi sistemi kullanma durumuna göre hanelerin elektrik faturası kategorilerine ait koşullu göreli sıklıkları hesaplayınız. İki değişken arasındaki ilişkiyi yorumlayınız ve bu ilişkinin bir neden-sonuç ilişkisi olarak yorumlanıp yorumlanamayacağını gerekçesiyle belirtiniz. (10 puan)
| SORU NO | ÖĞRENME ÇIKTISI | BECERİLER |
|---|---|---|
| 1 | MAT.10.1.1. Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme (KB2.10. Çıkarım Yapma) |
| 2 | MAT.10.1.1. Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme; MAB2. Matematiksel Problem Çözme (MAB2.1. Matematiksel Çözümler Geliştirme) |
| 3 | MAT.10.1.1. Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme | MAB2. Matematiksel Problem Çözme (MAB2.1. Matematiksel Çözümler Geliştirme); MAB1. Matematiksel Muhakeme (KB2.10. Çıkarım Yapma) |
| 4 | MAT.10.1.2. Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme (KB2.4. Çözümleme) |
| 5 | MAT.10.1.2. Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme (KB2.10. Çıkarım Yapma); MAB2. Matematiksel Problem Çözme |
| 6 | MAT.10.1.3. Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine ilişkin çıkarım yapabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme (KB2.14. Yorumlama) |
| 7 | MAT.10.1.4. Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme | MAB1. Matematiksel Muhakeme (MAB1.1. Matematiksel Doğrulama veya İspat Yapma); MAB2. Matematiksel Problem Çözme |
| 8 | MAT.10.2.1. İki kategorik değişkenli veri ile çalışabilme ve iki kategorik değişken arasındaki ilişkililiğe dayalı karar verebilme | MAB4. Veri ile Çalışma ve Veriye Dayalı Karar Verme (KB2.18. Tartışma); MAB3. Matematiksel Temsil |
| 9 | MAT.10.2.1. İki kategorik değişkenli veri ile çalışabilme ve iki kategorik değişken arasındaki ilişkililiğe dayalı karar verebilme | MAB4. Veri ile Çalışma ve Veriye Dayalı Karar Verme (KB2.18. Tartışma); MAB3. Matematiksel Temsil |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | TOPLAM |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 15 | 15 | 100 |
Doğru cevap:
- sin²α + cos²α = 1 özdeşliğini kullanarak (sinα + cosα)² = 1 + 2 · 0,48 = 1,96 ve (sinα − cosα)² = 1 − 2 · 0,48 = 0,04 eşitliklerini yazma; α dar açı olduğundan sinα + cosα = 1,4 ve sinα − cosα = 0,2 ya da −0,2 sonucuna ulaşma (3 puan). (Aynı sonuca sinα · cosα = tanα / (1 + tan²α) dönüşümüyle 12tan²α − 25tanα + 12 = 0 denklemi kurularak ulaşan öğrenci de tam puan alır.)
- İki durumu belirleme: sinα = 0,8 ve cosα = 0,6 (tanα = 4/3) ya da sinα = 0,6 ve cosα = 0,8 (tanα = 3/4) (1 puan)
- tanα = 4/3 durumunu inceleyip reddetme: Disk 6 birim alçalırken yatayda 6 ÷ (4/3) = 4,5 birim ilerler ve sol banttan 5,5 birim uzaklıktaki C' noktasında banda çarpar. Çarptıktan sonra 7 birim yükselmek için yatayda 7 ÷ (4/3) = 5,25 birim ilerlemesi gerekir; sol banttan 10,75 birim uzaklıkta üst banda çarpar, yani sağ banda ulaşmadan ikinci bir banda değer. Bu durum verilen koşula aykırıdır (2 puan)
- tanα = 3/4 durumunu inceleme: Disk 6 birim alçalırken yatayda 6 ÷ (3/4) = 8 birim ilerler; C noktası alt bant üzerinde sol banttan 9 birim uzaklıktaki kare köşesidir. Çarptıktan sonra sağ banda kadar yatayda 4 birim ilerlerken 4 · (3/4) = 3 birim yükselir ve kale ağzına alt banttan 3 birim yükseklikteki E noktasından (K ile L'nin tam ortası) girer, üst banda değmez. C ve E noktalarını şekil üzerinde gösterme (2 puan)
- Yolu hesaplama ve yorumlama: |AC| = 6 ÷ sinα = 6 ÷ 0,6 = 10 birim (ya da √(8² + 6²) = 10), |CE| = 3 ÷ 0,6 = 5 birim, toplam yol 15 birim; verilen çarpım değerinin iki farklı açı ölçüsüne karşılık geldiği, bu açılardan yalnızca tanα = 3/4 olanın tek çarpmayla kaleye girme koşulunu sağladığı yorumunu yapma (2 puan)
Örnek doğru cevap: sin²α + cos²α = 1 olduğundan (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2sinα · cosα = 1 + 0,96 = 1,96 ve sinα + cosα = 1,4 olur. Benzer şekilde (sinα − cosα)² = 1 − 0,96 = 0,04 ve sinα − cosα = ±0,2 olur. Buradan sinα = 0,8, cosα = 0,6 ya da sinα = 0,6, cosα = 0,8 bulunur; yani tanα = 4/3 ya da tanα = 3/4 olabilir. tanα = 4/3 ise disk A noktasından alt banda 6 birim inerken yatayda 4,5 birim ilerler, sol banttan 5,5 birim uzakta banda çarpar ve yükselirken sol banttan 10,75 birim uzakta üst banda çarpar; disk tek çarpmayla kaleye giremeyeceği için bu durum olamaz. tanα = 3/4 ise disk yatayda 8 birim ilerleyip sol banttan 9 birim uzaklıktaki C noktasında banda çarpar; ardından yatayda 4 birim ilerlerken 3 birim yükselerek kale ağzına alt banttan 3 birim yükseklikteki E noktasından girer. sinα = 0,6 olduğundan |AC| = 6 / 0,6 = 10 birim, |CE| = 3 / 0,6 = 5 birimdir. Diskin aldığı yol 10 + 5 = 15 birimdir. Verilen sinα · cosα değeri iki farklı α açısına karşılık gelse de diskin yalnızca bir kez banda çarparak kaleye girmesi koşulu yalnızca tanα = 3/4 durumunda sağlanmaktadır.
Yanlış cevap: sinα ve cosα değerlerini deneme yanılma ile tahmin edip hiçbir özdeşlik kullanmadan yazan, iki durumdan yalnızca birini bulup diğerini incelemeyen veya tanα = 4/3 durumunu reddetmeden iki farklı C noktası öneren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Yolu 15 birimden farklı bulan veya C noktasını alt bant üzerinde sol banttan 9 birim uzaklıktaki köşeden farklı bir yerde gösteren cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
- Birim çember üzerindeki k. lambanın (k = 1, 2, …, 17) koordinatlarının (cos(10k°), sin(10k°)) olduğunu belirtme (1 puan)
- Birbirini 180° ye tamamlayan açılar için birim çemberdeki simetriden cos(180° − x) = −cosx ve sin(180° − x) = sinx olduğunu belirtme (P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, …, P₈ ile P₁₀ lambaları y eksenine göre simetriktir.) (2 puan)
- X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 + 0 + … + 0 + 0 = 0 bulma (3 puan)
- Y = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° yazma; birbirini 90° ye tamamlayan açılarda sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan sin²10° + sin²80° = sin²10° + cos²10° = 1 gibi dört çift oluşturarak Y = 2 · 4 + 1 = 9 bulma (4 puan)
Örnek doğru cevap: Birim çemberde bir açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi o açının kosinüsü, ordinatı sinüsüdür. Bu nedenle k. lambanın koordinatları (cos(10k°), sin(10k°)) olur. P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, … lambaları y eksenine göre simetrik olduğundan cos170° = −cos10°, cos160° = −cos20°, … ve sin170° = sin10°, sin160° = sin20°, … olur. X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 bulunur. Y = sin²10° + … + sin²170° = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° olur. sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan (sin²10° + cos²10°) + (sin²20° + cos²20°) + (sin²30° + cos²30°) + (sin²40° + cos²40°) = 4 ve Y = 2 · 4 + 1 = 9 olur. Buradan X = 0 ve Y = 9 bulunur.
Yanlış cevap: cos170° = cos10° gibi işaret hatası yaparak X değerini 0 dışında bulan, sin90° terimini unutarak Y = 8 bulan, Y değerini 17 lambanın her biri için sin² = 1 kabul ederek 17 bulan veya değerleri yalnızca hesap makinesiyle bulup hiçbir özdeşliğe dayandırmayan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
3.1. (4 puan)
- 1 + tan²α = 1 / cos²α özdeşliğini ya da dik kenarları 3k ve 4k olan bir dik üçgeni kullanarak α dar açı olduğundan sinα = 3/5 = 0,6 ve cosα = 4/5 = 0,8 bulma (2 puan)
- Panelin üst kenarının yüksekliğini 2 · sinα = 1,2 m bulma (1 puan)
- Panelin zeminde kapladığı yatay uzunluğu 2 · cosα = 1,6 m bulma (1 puan)
3.2. (6 puan)
- sin²θ + cos²θ = 1 özdeşliğinden θ dar açı olduğundan cosθ = 15/17 bulma (1 puan)
- cotθ = cosθ / sinθ = 15/8 = 1,875 bulma (2 puan). (cotθ değerini 1 + cot²θ = 1 / sin²θ özdeşliğinden bulan öğrenci de tam puan alır.)
- Öndeki panelin üst kenarı, bu kenarın zemindeki dik izdüşümü ve ışının zemine ulaştığı nokta arasında oluşan dik üçgende gölgenin panelin arka kenarından itibaren uzunluğunu 1,2 · cotθ = 1,2 · 1,875 = 2,25 m bulma (2 puan)
- d = 1,6 + 2,25 = 3,85 m bulma (1 puan)
Örnek doğru cevap: 3.1. 1 + tan²α = 1 / cos²α olduğundan 1 + 9/16 = 25/16 = 1 / cos²α ve cos²α = 16/25 olur. α dar açı olduğundan cosα = 4/5 = 0,8'dir. sinα = tanα · cosα = (3/4) · (4/5) = 3/5 = 0,6 bulunur. Panelin üst kenarının yüksekliği 2 · 0,6 = 1,2 m, panelin zeminde kapladığı yatay uzunluk 2 · 0,8 = 1,6 m'dir. 3.2. sin²θ + cos²θ = 1 olduğundan cos²θ = 1 − 64/289 = 225/289 ve θ dar açı olduğundan cosθ = 15/17 bulunur. cotθ = cosθ / sinθ = 15/8 = 1,875 olur. Öndeki panelin üst kenarından geçen ışın, üst kenarın zemindeki dik izdüşümü ve ışının zemine ulaştığı nokta bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende θ açısının karşısındaki dik kenar 1,2 m olduğundan komşu dik kenar 1,2 · cotθ = 1,2 · 1,875 = 2,25 m'dir. Gölge, panelin arka kenarından itibaren 2,25 m uzanır. Bu nedenle ön kenarlar arasındaki uzaklık en az d = 1,6 + 2,25 = 3,85 m olmalıdır.
Yanlış cevap: sinα ve cosα değerlerini yer değiştirerek (sinα = 0,8, cosα = 0,6) kullanan; cotθ yerine tanθ = 8/15 kullanarak gölge uzunluğunu 0,64 m bulan veya d uzaklığını yalnızca gölge uzunluğu (2,25 m) olarak alan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Değerleri yalnızca hesap makinesiyle açı ölçüsü bularak hesaplayıp hiçbir özdeşliğe dayandırmayan cevaplar özdeşlik ölçütlerinden puan alamaz.
Doğru cevap:
- K noktasının üç köşeye eşit uzaklıkta olduğu için kenar orta dikmelerin kesim noktası (çevrel çemberin merkezi) olduğunu belirtme; dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğundan K noktasının [BC] hipotenüsünün orta noktası olduğu sonucuna ulaşma (3 puan)
- |BC|² = 24² + 18² = 900, |BC| = 30 m ve kulenin kapılara uzaklığını |KA| = |KB| = |KC| = 15 m bulma (2 puan)
- S noktasının üç kenara eşit uzaklıkta olduğu için iç açıortayların kesim noktası (iç teğet çemberin merkezi) olduğunu belirtme (2 puan)
- S noktasının kenarlara uzaklığını r alarak A(ABC) = A(SAB) + A(SBC) + A(SAC) eşitliğinden ½ · 24 · 18 = ½ · r · (24 + 30 + 18), 216 = 36r ve r = 6 m bulma (3 puan). (r değerini teğet parçalarının eşitliğinden r = (24 + 18 − 30) ÷ 2 = 6 m olarak bulan öğrenci de tam puan alır.)
Örnek doğru cevap: Kule üç kapıya, yani üçgenin üç köşesine eşit uzaklıkta olacağından K noktası kenar orta dikmelerin kesim noktası, yani çevrel çemberin merkezidir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısı olduğundan [BC] kenarının orta noktası A, B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır; K, [BC] kenarının orta noktasıdır. |BC|² = 24² + 18² = 900 olduğundan |BC| = 30 m ve |KA| = |KB| = |KC| = 15 m'dir; kule her kapıya 15 m uzaklıktadır. Havuz üç yürüyüş yoluna, yani üçgenin üç kenarına eşit uzaklıkta olacağından S noktası iç açıortayların kesim noktası, yani iç teğet çemberin merkezidir. S noktasının kenarlara uzaklığı r olsun. A(ABC) = ½ · 24 · 18 = 216 m² ve A(ABC) = ½ · r · 24 + ½ · r · 30 + ½ · r · 18 = 36r olduğundan r = 6 m'dir; havuzun merkezi her yürüyüş yoluna 6 m uzaklıktadır.
Yanlış cevap: K noktasını ağırlık merkezi veya yüksekliklerin kesim noktası olarak, S noktasını kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak belirleyen; kulenin kapılara uzaklığını 15 m'den veya iç teğet çemberin yarıçapını 6 m'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
5.1. (4 puan)
- Yolun [BC] kenarını kestiği nokta D olmak üzere ABD ve ADC üçgenlerinin [BD] ve [DC] tabanlarına ait yüksekliklerinin ortak (|AH| = 45 m) olduğunu, bu nedenle alanların eşit olması için tabanların eşit olması gerektiğini belirterek D noktasının [BC] kenarının orta noktası olduğunu (|BD| = |DC| = 28 m) bulma (2 puan)
- Yolun A köşesine ait [AD] kenarortayı olduğunu belirtme (1 puan)
- |HD| = 24 m bulup AHD dik üçgeninde |AD|² = 45² + 24² = 2601 ve |AD| = 51 m bulma (1 puan)
5.2. (6 puan)
- Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böldüğünü belirterek |GD| / |AD| = 1/3 (|AG| = 34 m, |GD| = 17 m) yazma (1 puan)
- G noktasından [BC] kenarına [GG'] dikmesini çizerek DG'G ve DHA üçgenlerinin benzerliğinden (ya da temel orantı teoreminden) |GG'| / |AH| = 1/3 yazma ve |GG'| = 15 m bulma (2 puan)
- A(ABC) = ½ · 56 · 45 = 1260 m² ve A(GBC) = ½ · 56 · 15 = 420 m² bulup A(GBC) = A(ABC) / 3 olduğunu belirtme (1 puan)
- D orta nokta olduğundan A(ABD) = A(ADC) = 630 m² ve A(GBD) = A(GDC) = 210 m² olduğunu belirterek A(GAB) = A(GCA) = 630 − 210 = 420 m² bulma ve üç bölgenin alanlarının eşit olduğu sonucuna ulaşma (2 puan). (G noktasının diğer kenarortayları da 2 : 1 oranında böldüğünü kullanarak G'nin [CA] ve [AB] kenarlarına uzaklığının ilgili yüksekliklerin üçte biri olduğunu gösteren öğrenci de tam puan alır.)
Örnek doğru cevap: 5.1. Yol [BC] kenarını D noktasında kessin. ABD ve ADC üçgenlerinin [BC] üzerindeki tabanlarına ait yükseklikleri aynıdır ve |AH| = 45 m'dir. Bu üçgenlerin alanlarının eşit olması için tabanları eşit olmalıdır: |BD| = |DC| = 28 m. Yani yol, [BC] kenarının orta noktasından geçen [AD] kenarortayıdır. |HD| = 28 − 4 = 24 m olduğundan AHD dik üçgeninde |AD|² = 45² + 24² = 2601 ve |AD| = 51 m'dir. 5.2. Kenarortayların kesim noktası G ağırlık merkezidir ve her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler; |AG| = 34 m, |GD| = 17 m'dir. G noktasından [BC] kenarına [GG'] dikmesi çizilirse [GG'] // [AH] olur ve DG'G ile DHA üçgenleri benzerdir. |GG'| / |AH| = |GD| / |AD| = 1/3 olduğundan |GG'| = 15 m'dir. A(ABC) = ½ · 56 · 45 = 1260 m² ve A(GBC) = ½ · 56 · 15 = 420 m²'dir; bu değer 1260 m²'nin üçte biridir. D orta nokta olduğundan ABD ve ADC üçgenlerinin alanları 630 m², GBD ve GDC üçgenlerinin alanları 210 m²'dir. Buradan A(GAB) = A(GCA) = 630 − 210 = 420 m² olur. Üç bölgenin her birinin alanı 420 m²'dir.
Yanlış cevap: 5.1'de yolun [BC] kenarına dik olan [AH] yüksekliği olması gerektiğini söyleyen (yükseklik ile kenarortayı karıştıran) veya |AD| uzunluğunu 51 m'den farklı bulan; 5.2'de G noktasını kenarortayın orta noktası kabul eden, G'nin [BC] kenarına uzaklığını 45 ÷ 2 = 22,5 m bulan ya da G'yi açıortayların veya kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak düşünen cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
- ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin [AB] tabanının ortak olduğunu, C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel d doğrusu üzerinde bulunduğundan [AB] kenarına ait yüksekliklerin eşit (5 birim) olduğunu belirtme (2 puan)
- A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkare bulma ve C köşesi d doğrusu üzerinde nereye taşınırsa taşınsın alanın değişmeyeceği sonucuna ulaşma (2 puan)
- Şekil 2'de taban uzunluğunun 8 + 2 = 10 birim, yüksekliğin 5 − 1 = 4 birim olduğunu belirleyerek A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkare bulma (2 puan)
- A(AB'C₃) / A(ABC₁) = 20 / 20 = 1 oranını bulma (2 puan)
- Taban uzunluğunun 5/4 katına çıktığını (%25 arttığını), yüksekliğin 4/5 katına indiğini (%20 azaldığını), alan taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan (5/4) · (4/5) = 1 olduğunu ve üçgenin biçimi değişse de alanın değişmediğini yorumlama (2 puan)
Örnek doğru cevap: Şekil 1'de ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin tabanı [AB] kenarıdır. C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel olan d doğrusu üzerinde olduğundan bu noktaların [AB] kenarına uzaklıkları, yani [AB] kenarına ait yükseklikler 5 birimdir. A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkaredir. Taban ve o tabana ait yükseklik değişmediği için C köşesi d doğrusu üzerinde hangi çiviye taşınırsa taşınsın alan değişmez. Şekil 2'de taban |AB'| = 10 birim, yükseklik 4 birim olduğundan A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkaredir. İstenen oran 20 / 20 = 1'dir. Taban 8 birimden 10 birime çıkarak 5/4 katına, yükseklik 5 birimden 4 birime inerek 4/5 katına değişmiştir. Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan alan (5/4) · (4/5) = 1 katına değişir, yani alan değişmez.
Yanlış cevap: C köşesi kaydırıldığında üçgenin biçimi değiştiği için alanın da değiştiğini öne süren; Şekil 2'de tabanın arttığını görüp yüksekliğin azaldığını dikkate almadan alanın arttığını söyleyen veya alan oranını 1'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
- ABC üçgeninde kosinüs teoremini |AC|² = |AB|² + |BC|² − 2 · |AB| · |BC| · cos(ABC) biçiminde yazma (2 puan)
- Birim çemberden ya da bütünler açı ilişkisinden cos120° = −cos60° = −1/2 olduğunu belirtme (2 puan)
- |AC|² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · (−1/2) = 49 ve |AC| = 7 dm bulma (2 puan)
- A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesini çizme; H noktasının [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısında olduğunu ve m(ABH) = 180° − 120° = 60° olduğunu belirleme; ABH (30° − 60° − 90°) üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm ve |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm bulma (2 puan)
- AHC dik üçgeninde |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm alarak |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulma; iki yöntemin aynı sonucu verdiğini belirtme (2 puan)
Örnek doğru cevap: Kosinüs teoremine göre |AC|² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos120° olur. Birim çemberde 120° lik açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi −1/2 olduğundan cos120° = −1/2'dir. Buradan |AC|² = 9 + 25 + 15 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. Doğrulama için A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesi çizilir. m(ABC) = 120° olduğundan H noktası [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısı üzerindedir ve m(ABH) = 60°'dir. ABH dik üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm, |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm olur. |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm'dir. AHC dik üçgeninde Pisagor teoremiyle |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. İki yöntem de aynı sonucu verdiğinden bulunan uzaklık doğrulanmış olur.
Yanlış cevap: cos120° değerini 1/2 alarak |AC| = √19 dm bulan, kosinüs teoremindeki işaretleri hatalı yazan, dikme ayağını [BC] kenarı üzerinde alarak |CH| = 5 − 1,5 = 3,5 dm kullanan veya doğrulama adımını yapmadan yalnızca sonucu yazan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.
Doğru cevap:
8.1. İki yönlü (çapraz) sıklık tablosu (5 puan): "5.000'den az" satırının doğru oluşturulması (1 puan), "5.000 – 9.999" satırının doğru oluşturulması (2 puan), "10.000 ve üzeri" satırının ve toplam satır ile sütunlarının doğru oluşturulması (2 puan)
| Günlük adım sayısı / Dinlenme nabzı | 60 ve altı | 61 – 75 | 76 ve üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|---|
| 5.000'den az | 0 | 1 | 4 | 5 |
| 5.000 – 9.999 | 1 | 3 | 1 | 5 |
| 10.000 ve üzeri | 3 | 2 | 0 | 5 |
| Toplam | 4 | 6 | 5 | 15 |
8.2. Koşullu göreli sıklık tablosu ve ilişkililik yorumu (10 puan)
- Aşama: Koşullu göreli sıklık tablosu (6 puan): Koşullu göreli sıklıkların her hücredeki sıklığın kendi satır toplamına bölünmesiyle hesaplanması ve her satırdaki yüzdelerin doğru bulunması 2'şer puan (6 puan)
| Günlük adım sayısı / Dinlenme nabzı | 60 ve altı | 61 – 75 | 76 ve üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|---|
| 5.000'den az | %0 | %20 | %80 | %100 |
| 5.000 – 9.999 | %20 | %60 | %20 | %100 |
| 10.000 ve üzeri | %60 | %40 | %0 | %100 |
- Aşama: İlişkililik yorumu (4 puan): Adım sayısı kategorileri arasında koşullu göreli sıklıkları karşılaştırarak eğilimi yüzdelerle açıklama (2 puan), iki değişken arasında bir ilişki olduğu sonucuna ulaşma (1 puan), bu ilişkinin neden-sonuç ilişkisi olarak yorumlanamayacağını başka etkenleri ve örneklemin küçüklüğünü dikkate alarak gerekçelendirme (1 puan)
Örnek doğru cevap: 8.1'deki iki yönlü tablo oluşturulur (5'er öğrenciden oluşan satırlar; 4, 6 ve 5 öğrenciden oluşan sütunlar). Koşullu göreli sıklıklar satır toplamlarına göre hesaplanır. Örneğin 5.000'den az adım atan 5 öğrenciden 4'ünün nabzı 76 ve üzeri olduğundan bu hücrenin değeri 4 / 5 = %80'dir. Tablo incelendiğinde günlük 5.000'den az adım atan öğrencilerin %80'inin dinlenme nabzı 76 ve üzeridir, bu grupta nabzı 60 ve altı olan öğrenci yoktur. 5.000 – 9.999 adım atan öğrencilerin %60'ının nabzı 61 – 75 aralığındadır. 10.000 ve üzeri adım atan öğrencilerin %60'ının nabzı 60 ve altıdır, bu grupta nabzı 76 ve üzeri olan öğrenci yoktur. Adım sayısı kategorisi yükseldikçe dinlenme nabzı 60 ve altı olanların oranı %0, %20, %60 şeklinde artmakta; 76 ve üzeri olanların oranı %80, %20, %0 şeklinde azalmaktadır. Bu durum, günlük adım sayısı ile dinlenme nabzı arasında bir ilişki olduğunu gösterir. Ancak bu ilişki, çok adım atmanın nabzı düşürdüğü anlamına gelmez. Düzenli spor yapma, kalıtım, sağlık durumu gibi başka etkenler de dinlenme nabzını etkileyebilir. Ayrıca veriler yalnızca 15 öğrenciden elde edildiği için bu sonuç tüm öğrencilere genellenirken dikkatli olunmalıdır.
Yanlış cevap: 4 numaralı öğrenciyi (5.000 adım, 76 atım/dk) "5.000'den az" ya da "61 – 75" kategorisine yerleştirmek gibi sınır değerlerde hata yapan cevaplar ilgili satırdan puan alamaz. Koşullu göreli sıklıkları genel toplama (15) bölerek hesaplayan cevaplar 1. aşamadan puan alamaz. "Çok adım atmak nabzı düşürür." gibi neden-sonuç ilişkisi kuran yorumlar 2. aşamanın gerekçelendirme ölçütünden puan alamaz. Yorumu eksik, yüzeysel veya yüzdelere dayanmadan yapan cevaplar 2. aşamada en fazla 2 puan alır.
Doğru cevap:
9.1. (5 puan)
- Değişkenleri ve kategorilerini yazma: güneş enerjisi sistemi kullanma durumu (kullanan / kullanmayan) ve aylık elektrik faturası (1.000 TL'den az / 1.000 TL ve üzeri) (2 puan)
- İki kategorik değişkeni ve ilgilenilen grubu açıkça içeren, değişkenler arasındaki ilişkiyi neden-sonuç ifadesi kullanmadan, tarafsız bir dille soran araştırma sorusu oluşturma (3 puan). Araştırma sorusu değişkenlerden yalnızca birini kapsıyorsa veya "Güneş paneli faturayı düşürür mü?" gibi taraflı / nedensellik içeren bir ifadeyse 1 puan verilir.
9.2. (10 puan)
- Boş hücreleri doldurma: Kullanan ve 1.000 TL ve üzeri: 20, Kullanmayan ve 1.000 TL'den az: 56, Kullanmayan toplamı: 160, 1.000 TL ve üzeri toplamı: 124 (2 puan)
| Güneş enerjisi sistemi / Aylık elektrik faturası | 1.000 TL'den az | 1.000 TL ve üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|
| Kullanan | 60 | 20 | 80 |
| Kullanmayan | 56 | 104 | 160 |
| Toplam | 116 | 124 | 240 |
- Koşullu göreli sıklıkları satır toplamlarına göre hesaplama, her hücre 1 puan (4 puan)
| Güneş enerjisi sistemi / Aylık elektrik faturası | 1.000 TL'den az | 1.000 TL ve üzeri | Toplam |
|---|---|---|---|
| Kullanan | %75 | %25 | %100 |
| Kullanmayan | %35 | %65 | %100 |
- İlişkililik yorumu (4 puan): İki grubun koşullu göreli sıklıklarını karşılaştırma (1 puan), iki değişken arasında bir ilişki olduğu sonucuna ulaşma (1 puan), ilişkinin nedensellik anlamına gelmediğini başka etkenler ve gönüllü katılımla oluşan örneklemin genellemeye etkisi bağlamında gerekçelendirme (2 puan)
Örnek doğru cevap: 9.1. Değişkenler; güneş enerjisi sistemi kullanma durumu (kullanan / kullanmayan) ve aylık elektrik faturası (1.000 TL'den az / 1.000 TL ve üzeri) değişkenleridir. Araştırma sorusu: "Bu ilçede müstakil evlerde yaşayan hanelerin güneş enerjisi sistemi kullanma durumları ile aylık elektrik faturalarının 1.000 TL'den az ya da 1.000 TL ve üzeri olma durumu arasında bir ilişki var mıdır?" 9.2. Boş hücreler 80 − 60 = 20, 116 − 60 = 56, 56 + 104 = 160 ve 20 + 104 = 124 olarak doldurulur. Güneş enerjisi sistemi kullanan hanelerin 60 / 80 = %75'inin faturası 1.000 TL'den az, 20 / 80 = %25'inin faturası 1.000 TL ve üzeridir. Kullanmayan hanelerde bu oranlar 56 / 160 = %35 ve 104 / 160 = %65'tir. Faturası 1.000 TL'den az olan hanelerin oranı kullananlarda %75, kullanmayanlarda %35 olduğundan koşullu göreli sıklıklar gruplar arasında belirgin biçimde farklılaşmaktadır; iki değişken arasında bir ilişki olduğu söylenebilir. Ancak bu ilişki, güneş enerjisi sisteminin faturayı düşürdüğünü tek başına kanıtlamaz. Hanedeki kişi sayısı, evin büyüklüğü, ısınmada elektrik kullanılıp kullanılmaması gibi başka etkenler de faturayı etkileyebilir. Ayrıca veriler ankete gönüllü olarak katılan hanelerden toplandığı için sonuçlar ilçedeki tüm müstakil evlere genellenirken dikkatli olunmalıdır.
Yanlış cevap: 9.1'de değişkenleri nicel veri olarak tanımlayan veya araştırma sorusunu betimsel biçimde ("Hanelerin kaçında güneş paneli vardır?") yazan cevaplar araştırma sorusu ölçütünden puan alamaz. 9.2'de koşullu göreli sıklıkları genel toplama (240) bölerek hesaplayan veya "Güneş paneli takan herkesin faturası düşer." gibi neden-sonuç ilişkisi kuran cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Yorumu eksik, yüzeysel veya akademik olmayan bir dille yapan cevaplar yorum ölçütünden en fazla 2 puan alır.