Doğru cevap:

• Birim çember üzerindeki k. lambanın (k = 1, 2, …, 17) koordinatlarının (cos(10k°), sin(10k°)) olduğunu belirtme (2 puan)
• Birbirini 180° ye tamamlayan açılar için birim çemberdeki simetriden cos(180° − x) = −cosx ve sin(180° − x) = sinx olduğunu belirtme (P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, …, P₈ ile P₁₀ lambaları y eksenine göre simetriktir.) (2 puan)
• X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 + 0 + … + 0 + 0 = 0 bulma (3 puan)
• Y = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° yazma; birbirini 90° ye tamamlayan açılarda sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan sin²10° + sin²80° = sin²10° + cos²10° = 1 gibi dört çift oluşturarak Y = 2 · 4 + 1 = 9 bulma (4 puan)
• Her lamba için sin²x + cos²x = 1 olduğundan Y + Z = 17 ve Z = 17 − 9 = 8 bulma (ya da Z değerini benzer eşlemelerle doğrudan hesaplama) (3 puan)
• Y / Z = 9/8 sonucunu yazma (1 puan)

Örnek doğru cevap: Birim çemberde bir açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi o açının kosinüsü, ordinatı sinüsüdür. Bu nedenle k. lambanın koordinatları (cos(10k°), sin(10k°)) olur. P₁ ile P₁₇, P₂ ile P₁₆, … lambaları y eksenine göre simetrik olduğundan cos170° = −cos10°, cos160° = −cos20°, … ve sin170° = sin10°, sin160° = sin20°, … olur. X = (cos10° + cos170°) + (cos20° + cos160°) + … + (cos80° + cos100°) + cos90° = 0 bulunur. Y = sin²10° + … + sin²170° = 2 · (sin²10° + sin²20° + … + sin²80°) + sin²90° olur. sin80° = cos10°, sin70° = cos20°, sin60° = cos30°, sin50° = cos40° olduğundan (sin²10° + cos²10°) + (sin²20° + cos²20°) + (sin²30° + cos²30°) + (sin²40° + cos²40°) = 4 ve Y = 2 · 4 + 1 = 9 olur. Her lamba için sin² + cos² = 1 olduğundan 17 lamba için Y + Z = 17, Z = 8 bulunur. Buradan X = 0 ve Y / Z = 9/8 olur.

Yanlış cevap: cos170° = cos10° gibi işaret hatası yaparak X değerini 0 dışında bulan, sin90° terimini unutarak Y = 8 bulan, Y ile Z değerlerini eşit kabul ederek Y / Z = 1 yazan veya değerleri yalnızca hesap makinesiyle bulup hiçbir özdeşliğe dayandırmayan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

2.1. (6 puan)

• 1 + tan²α = 1 / cos²α özdeşliğinden cos²α = 1 ÷ (1 + 9/16) = 16/25 yazma ya da dik kenarları 3k ve 4k olan bir dik üçgen çizip Pisagor teoremiyle hipotenüs uzunluğunu 5k bulma (2 puan)
• α dar açı olduğundan cosα = 4/5 = 0,8 ve sinα = tanα · cosα = 3/5 = 0,6 bulma (2 puan)
• Panelin üst kenarının yüksekliğini 2 · sinα = 2 · 0,6 = 1,2 m bulma (1 puan)
• Panelin zeminde kapladığı yatay uzunluğu 2 · cosα = 2 · 0,8 = 1,6 m bulma (1 puan)

2.2. (8 puan)

• sin²θ + cos²θ = 1 özdeşliğinden cos²θ = 1 − 64/289 = 225/289 yazma ve θ dar açı olduğundan cosθ = 15/17 bulma (2 puan)
• cotθ = cosθ / sinθ = (15/17) ÷ (8/17) = 15/8 = 1,875 bulma (2 puan). (cotθ değerini 1 + cot²θ = 1 / sin²θ özdeşliğinden bulan öğrenci de tam puan alır.)
• Öndeki panelin üst kenarı, bu kenarın zemindeki dik izdüşümü ve ışının zemine ulaştığı nokta arasında oluşan dik üçgende θ açısının karşısındaki dik kenarın 1,2 m olduğunu belirterek gölgenin panelin arka kenarından itibaren uzunluğunu 1,2 · cotθ = 1,2 · 1,875 = 2,25 m bulma (2 puan)
• d = 1,6 + 2,25 = 3,85 m bulma (2 puan)

2.3. (6 puan)

• n sıra için gereken uzunluğu (n − 1) · 3,85 + 1,6 biçiminde ifade ederek (n − 1) · 3,85 + 1,6 ≤ 20 eşitsizliğini kurma (2 puan)
• n − 1 ≤ 18,4 ÷ 3,85 ≈ 4,78 olduğundan en fazla 5 sıra panel yerleştirilebileceğini bulma; 5 sıra için 17 m, 6 sıra için 20,85 m gerektiğini belirtme (2 puan)
• θ dar açısı büyüdükçe sinθ değerinin arttığını, cosθ değerinin azaldığını, bu nedenle cotθ = cosθ / sinθ değerinin azaldığını ve aynı yükseklikteki panelin gölgesinin kısaldığını belirtme; gölgeler en uzun, güneşin en alçakta seyrettiği gün oluştuğundan bu güne göre yapılan yerleşimde panellerin yıl boyunca birbirini gölgelemeyeceğini yorumlama (2 puan)

Örnek doğru cevap: 2.1. 1 + tan²α = 1 / cos²α olduğundan 1 + 9/16 = 25/16 = 1 / cos²α ve cos²α = 16/25 olur. α dar açı olduğundan cosα = 4/5 = 0,8'dir. sinα = tanα · cosα = (3/4) · (4/5) = 3/5 = 0,6 bulunur. Gerçekten de sin²α + cos²α = 0,36 + 0,64 = 1'dir. Panelin üst kenarının yüksekliği 2 · 0,6 = 1,2 m, panelin zeminde kapladığı yatay uzunluk 2 · 0,8 = 1,6 m'dir. 2.2. sin²θ + cos²θ = 1 olduğundan cos²θ = 1 − 64/289 = 225/289 ve θ dar açı olduğundan cosθ = 15/17 bulunur. cotθ = cosθ / sinθ = 15/8 = 1,875 olur. Öndeki panelin üst kenarından geçen ışın, üst kenarın zemindeki dik izdüşümü ve ışının zemine ulaştığı nokta bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende θ açısının karşısındaki dik kenar 1,2 m olduğundan komşu dik kenar 1,2 · cotθ = 1,2 · 1,875 = 2,25 m'dir. Gölge, panelin arka kenarından itibaren 2,25 m uzanır. Bu nedenle ön kenarlar arasındaki uzaklık en az d = 1,6 + 2,25 = 3,85 m olmalıdır. 2.3. Birinci sıranın ön kenarından son sıranın arka kenarına kadar n sıra için (n − 1) · 3,85 + 1,6 metre uzunluk gerekir. (n − 1) · 3,85 + 1,6 ≤ 20 ise n − 1 ≤ 4,78 olur. 5 sıra için 4 · 3,85 + 1,6 = 17 m yeterlidir, 6 sıra için 5 · 3,85 + 1,6 = 20,85 m gerekir. Bu bölüme en fazla 5 sıra panel yerleştirilebilir. θ dar açısı büyüdükçe sinθ artar, cosθ azalır; bu nedenle cotθ = cosθ / sinθ azalır ve aynı yükseklikteki panelin gölgesi kısalır. Sıralar yazın oluşan kısa gölgelere göre yerleştirilseydi kış günlerinde öndeki paneller arkadakileri gölgelerdi. Gölgeler en uzun, güneşin en alçakta seyrettiği gün oluştuğu için hesaplamalar bu güne göre yapılmıştır.

Yanlış cevap: sinα ve cosα değerlerini yer değiştirerek (sinα = 0,8, cosα = 0,6) kullanan; cotθ yerine tanθ = 8/15 kullanarak gölge uzunluğunu 0,64 m bulan; d uzaklığını yalnızca gölge uzunluğu (2,25 m) olarak alan; n − 1 ≤ 4,78 sonucunu sıra sayısı sanarak 4 sıra bulan veya "Güneş yükseldikçe gölge uzar." biçiminde yorum yapan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz. Değerleri yalnızca hesap makinesiyle açı ölçüsü bularak hesaplayıp hiçbir özdeşliğe dayandırmayan cevaplar 2.1 ve 2.2'nin özdeşlik ölçütlerinden puan alamaz.

Doğru cevap:

• K noktasının üç köşeye eşit uzaklıkta olduğu için kenar orta dikmelerin kesim noktası (çevrel çemberin merkezi) olduğunu belirtme; dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğundan K noktasının [BC] hipotenüsünün orta noktası olduğu sonucuna ulaşma (3 puan)
• |BC|² = 24² + 18² = 900, |BC| = 30 m ve |KA| = |KB| = |KC| = 15 m bulma; K noktasının [AB] kenarına uzaklığının 18 ÷ 2 = 9 m, [AC] kenarına uzaklığının 24 ÷ 2 = 12 m olduğunu belirleme (2 puan)
• S noktasının üç kenara eşit uzaklıkta olduğu için iç açıortayların kesim noktası (iç teğet çemberin merkezi) olduğunu belirtme (2 puan)
• S noktasının kenarlara uzaklığını r alarak A(ABC) = A(SAB) + A(SBC) + A(SAC) eşitliğinden ½ · 24 · 18 = ½ · r · (24 + 30 + 18), 216 = 36r ve r = 6 m bulma (3 puan). (r değerini teğet parçalarının eşitliğinden r = (24 + 18 − 30) ÷ 2 = 6 m olarak bulan öğrenci de tam puan alır.)
• S noktasının [AB] ve [AC] kenarlarına uzaklığının 6 m olduğunu kullanarak S ile K arasındaki yatay farkı 12 − 6 = 6 m ve dikey farkı 9 − 6 = 3 m olarak belirleme (2 puan)
• Oluşan dik üçgende Pisagor teoremiyle |SK|² = 6² + 3² = 45 ve |SK| = 3√5 m (yaklaşık 6,7 m) bulma (3 puan)

Örnek doğru cevap: Kule üç kapıya, yani üçgenin üç köşesine eşit uzaklıkta olacağından K noktası kenar orta dikmelerin kesim noktası, yani çevrel çemberin merkezidir. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısı olduğundan [BC] kenarının orta noktası A, B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır; K, [BC] kenarının orta noktasıdır. |BC|² = 24² + 18² = 900 olduğundan |BC| = 30 m ve |KA| = |KB| = |KC| = 15 m'dir. K orta nokta olduğundan [AB] kenarına uzaklığı 9 m, [AC] kenarına uzaklığı 12 m'dir. Havuz üç yürüyüş yoluna, yani üçgenin üç kenarına eşit uzaklıkta olacağından S noktası iç açıortayların kesim noktası, yani iç teğet çemberin merkezidir. S noktasının kenarlara uzaklığı r olsun. A(ABC) = ½ · 24 · 18 = 216 m² ve A(ABC) = ½ · r · 24 + ½ · r · 30 + ½ · r · 18 = 36r olduğundan r = 6 m'dir. S noktası [AB] ve [AC] kenarlarına 6 m uzaklıktadır. S ile K arasında [AB] kenarına paralel doğrultuda 12 − 6 = 6 m, [AC] kenarına paralel doğrultuda 9 − 6 = 3 m fark vardır. |SK|² = 6² + 3² = 45 olduğundan kablonun uzunluğu |SK| = 3√5 m ≈ 6,7 m'dir.

Yanlış cevap: K noktasını ağırlık merkezi veya yüksekliklerin kesim noktası olarak, S noktasını kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak belirleyen; iç teğet çemberin yarıçapını 6 m'den farklı bulan veya kablonun uzunluğunu 3√5 m'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

4.1. (5 puan)

• Yolun [BC] kenarını kestiği nokta D olmak üzere ABD ve ADC üçgenlerinin [BD] ve [DC] tabanlarına ait yüksekliklerinin ortak (|AH| = 45 m) olduğunu, bu nedenle alanların eşit olması için tabanların eşit olması gerektiğini belirterek D noktasının [BC] kenarının orta noktası olduğunu (|BD| = |DC| = 28 m) bulma (2 puan)
• Yolun A köşesine ait [AD] kenarortayı olduğunu belirtme (1 puan)
• |HD| = 28 − 4 = 24 m bulup AHD dik üçgeninde |AD|² = 45² + 24² = 2601 ve |AD| = 51 m bulma (2 puan)

4.2. (7 puan)

• Ağırlık merkezinin kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böldüğünü kullanarak |AG| = 34 m ve |GD| = 17 m bulma (2 puan)
• G noktasından [BC] kenarına [GG'] dikmesini çizerek DG'G ve DHA üçgenlerinin benzerliğinden (ya da temel orantı teoreminden) |GG'| / |AH| = |GD| / |AD| = 1/3 yazma ve |GG'| = 15 m bulma (2 puan)
• A(ABC) = ½ · 56 · 45 = 1260 m² ve A(GBC) = ½ · 56 · 15 = 420 m² bulup A(GBC) = A(ABC) / 3 olduğunu belirtme (1 puan)
• D orta nokta olduğundan A(ABD) = A(ADC) = 630 m² ve A(GBD) = A(GDC) = 210 m² olduğunu belirterek A(GAB) = 630 − 210 = 420 m², A(GCA) = 630 − 210 = 420 m² bulma ve üç bölgenin alanlarının eşit olduğu sonucuna ulaşma (2 puan). (G noktasının diğer kenarortayları da 2 : 1 oranında böldüğünü kullanarak G'nin [CA] ve [AB] kenarlarına uzaklığının ilgili yüksekliklerin üçte biri olduğunu gösteren öğrenci de tam puan alır.)

4.3. (8 puan)

• |GA| = 34 m olduğunu belirtme (1 puan)
• G' noktasının konumunu belirleme: AHD üçgeninde [GG'] // [AH] olduğundan |HG'| / |HD| = |AG| / |AD| = 2/3, |HG'| = 16 m, |BG'| = 4 + 16 = 20 m ve |G'C| = 56 − 20 = 36 m bulma (3 puan)
• BG'G dik üçgeninde |GB|² = 20² + 15² = 625 ve |GB| = 25 m bulma (2 puan)
• CG'G dik üçgeninde |GC|² = 36² + 15² = 1521 ve |GC| = 39 m bulma (1 puan)
• Boruların toplam uzunluğunu 34 + 25 + 39 = 98 m bulma (1 puan)

Örnek doğru cevap: 4.1. Yol [BC] kenarını D noktasında kessin. ABD ve ADC üçgenlerinin [BC] üzerindeki tabanlarına ait yükseklikleri aynıdır ve |AH| = 45 m'dir. Bu üçgenlerin alanlarının eşit olması için tabanları eşit olmalıdır: |BD| = |DC| = 56 ÷ 2 = 28 m. Yani yol, [BC] kenarının orta noktasından geçen [AD] kenarortayıdır. |HD| = 28 − 4 = 24 m olduğundan AHD dik üçgeninde |AD|² = 45² + 24² = 2025 + 576 = 2601 ve |AD| = 51 m'dir. 4.2. Kenarortayların kesim noktası G ağırlık merkezidir ve her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler. Buna göre |AG| = 34 m, |GD| = 17 m'dir. G noktasından [BC] kenarına [GG'] dikmesi çizilirse [GG'] // [AH] olur ve DG'G ile DHA üçgenleri benzerdir. |GG'| / |AH| = |GD| / |AD| = 17/51 = 1/3 olduğundan |GG'| = 45 ÷ 3 = 15 m'dir. A(ABC) = ½ · 56 · 45 = 1260 m² ve A(GBC) = ½ · 56 · 15 = 420 m²'dir; bu değer 1260 m²'nin üçte biridir. D orta nokta olduğundan ABD ve ADC üçgenlerinin alanları 630 m², GBD ve GDC üçgenlerinin alanları da 210 m²'dir (ortak yükseklik |GG'|, eşit tabanlar). Buradan A(GAB) = 630 − 210 = 420 m² ve A(GCA) = 630 − 210 = 420 m² olur. Üç bölgenin her birinin alanı 420 m²'dir. 4.3. |GA| = |AG| = 34 m'dir. [GG'] // [AH] olduğundan |HG'| / |HD| = |AG| / |AD| = 2/3 ve |HG'| = 16 m'dir. Buna göre |BG'| = 4 + 16 = 20 m, |G'C| = 56 − 20 = 36 m'dir. BG'G dik üçgeninde |GB|² = 20² + 15² = 625 ve |GB| = 25 m; CG'G dik üçgeninde |GC|² = 36² + 15² = 1521 ve |GC| = 39 m'dir. Döşenecek boruların toplam uzunluğu 34 + 25 + 39 = 98 m'dir.

Yanlış cevap: 4.1'de yolun [BC] kenarına dik olan [AH] yüksekliği olması gerektiğini söyleyen (yükseklik ile kenarortayı karıştıran) veya |AD| uzunluğunu 51 m'den farklı bulan; 4.2'de G noktasını kenarortayın orta noktası kabul eden, G'nin [BC] kenarına uzaklığını 45 ÷ 2 = 22,5 m bulan ya da G'yi açıortayların veya kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak düşünen; 4.3'te G' noktasını [BC] kenarının orta noktası kabul ederek |GB| ve |GC| uzunluklarını hesaplayan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin [AB] tabanının ortak olduğunu, C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel d doğrusu üzerinde bulunduğundan [AB] kenarına ait yüksekliklerin eşit (5 birim) olduğunu belirtme (3 puan)
• A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkare bulma ve C köşesi d doğrusu üzerinde nereye taşınırsa taşınsın alanın değişmeyeceği sonucuna ulaşma (3 puan)
• Şekil 2'de taban uzunluğunun 8 + 2 = 10 birim, yüksekliğin 5 − 1 = 4 birim olduğunu belirleyerek A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkare bulma (3 puan)
• A(AB'C₃) / A(ABC₁) = 20 / 20 = 1 oranını bulma (3 puan)
• Taban uzunluğunun 5/4 katına çıktığını (%25 arttığını), yüksekliğin 4/5 katına indiğini (%20 azaldığını), alan taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan (5/4) · (4/5) = 1 olduğunu ve üçgenin biçimi değişse de alanın değişmediğini yorumlama (3 puan)

Örnek doğru cevap: Şekil 1'de ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin tabanı [AB] kenarıdır. C₁ ve C₂ noktaları [AB] kenarına paralel olan d doğrusu üzerinde olduğundan bu noktaların [AB] kenarına uzaklıkları, yani [AB] kenarına ait yükseklikler 5 birimdir. A(ABC₁) = A(ABC₂) = ½ · 8 · 5 = 20 birimkaredir. Taban ve o tabana ait yükseklik değişmediği için C köşesi d doğrusu üzerinde hangi çiviye taşınırsa taşınsın alan değişmez. Şekil 2'de taban |AB'| = 10 birim, yükseklik 4 birim olduğundan A(AB'C₃) = ½ · 10 · 4 = 20 birimkaredir. İstenen oran 20 / 20 = 1'dir. Taban 8 birimden 10 birime çıkarak 5/4 katına, yükseklik 5 birimden 4 birime inerek 4/5 katına değişmiştir. Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımıyla orantılı olduğundan alan (5/4) · (4/5) = 1 katına değişir, yani alan değişmez.

Yanlış cevap: C köşesi kaydırıldığında üçgenin biçimi değiştiği için alanın da değiştiğini öne süren; Şekil 2'de tabanın arttığını görüp yüksekliğin azaldığını dikkate almadan alanın arttığını söyleyen veya alan oranını 1'den farklı bulan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.

Doğru cevap:

• ABC üçgeninde kosinüs teoremini |AC|² = |AB|² + |BC|² − 2 · |AB| · |BC| · cos(ABC) biçiminde yazma (3 puan)
• Birim çemberden ya da bütünler açı ilişkisinden cos120° = −cos60° = −1/2 olduğunu belirtme (3 puan)
• |AC|² = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · (−1/2) = 49 ve |AC| = 7 dm bulma (3 puan)
• A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesini çizme; H noktasının [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısında olduğunu ve m(ABH) = 180° − 120° = 60° olduğunu belirleme; ABH (30° − 60° − 90°) üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm ve |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm bulma (3 puan)
• AHC dik üçgeninde |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm alarak |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulma; iki yöntemin aynı sonucu verdiğini belirtme (3 puan)

Örnek doğru cevap: Kosinüs teoremine göre |AC|² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos120° olur. Birim çemberde 120° lik açının bitim kolunun çemberi kestiği noktanın apsisi −1/2 olduğundan cos120° = −1/2'dir. Buradan |AC|² = 9 + 25 + 15 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. Doğrulama için A noktasından CB doğrusuna [AH] dikmesi çizilir. m(ABC) = 120° olduğundan H noktası [CB] doğru parçasının B tarafındaki uzantısı üzerindedir ve m(ABH) = 60°'dir. ABH dik üçgeninde |BH| = 3 · cos60° = 1,5 dm, |AH| = 3 · sin60° = 3√3/2 dm olur. |CH| = 5 + 1,5 = 6,5 dm'dir. AHC dik üçgeninde Pisagor teoremiyle |AC|² = 6,5² + (3√3/2)² = 42,25 + 6,75 = 49 ve |AC| = 7 dm bulunur. İki yöntem de aynı sonucu verdiğinden bulunan uzaklık doğrulanmış olur.

Yanlış cevap: cos120° değerini 1/2 alarak |AC| = √19 dm bulan, kosinüs teoremindeki işaretleri hatalı yazan, dikme ayağını [BC] kenarı üzerinde alarak |CH| = 5 − 1,5 = 3,5 dm kullanan veya doğrulama adımını yapmadan yalnızca sonucu yazan cevaplar ilgili ölçütlerden puan alamaz.